Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

∂
∂ϕ
e
ϕ
= −e
r
(v∇)v = −Ω
2
re
r
1
ρ
∂p
∂r
= Ω
2
r,
1
ρ
∂p
∂z
= −g.
a
U
ρ φ
p
∞
S
0
r ϑ ϕ
U φ
0
S
0
∂φ
∂r
¯
¯
¯
¯
r=a
= 0, φ
0
¯
¯
¯
¯
r=∞
= −Ur cos ϑ.
φ
0
φ
0
= R(r)P (ϑ).
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂φ
0
∂r
+
1
r
2
sin ϑ
∂
∂ϑ
µ
sin ϑ
∂φ
0
∂ϑ
+
1
r
2
sin
2
ϑ
∂
2
φ
0
∂ϕ
2
= 0
d
dr
µ
r
2
dR
dr
− λR = 0,
1
sin ϑ
d
dϑ
µ
sin ϑ
dP
dϑ
+ λP = 0,
λ
λ = l(l+1) l = 0, 1, 2, . . .
P
l
(cos ϑ) P
0
= 1, P
1
=
cos ϑ λ = l(l + 1)
R
l
= A
l
r
l
+ B
l
r
−l−1
,
                   ∂
Ïîñêîëüêó    eϕ = −er , òî (v∇)v = −Ω2 rer , òàê ÷òî èç óðàâíåíèÿ Ýéëåðà
          ∂ϕ
ïîëó÷àåì
                      1 ∂p         1 ∂p
                           = Ω2 r,      = −g.
                      ρ ∂r         ρ ∂z
Äàëüíåéøèé õîä ðåøåíèÿ àíàëîãè÷åí èçëîæåííîìó âûøå.

Çàäà÷à 10.2. Øàð ðàäèóñà a â îòñóòñòâèå ñèëû òÿæåñòè äâèæåòñÿ â íåîãðà-
íè÷åííîé íåñæèìàåìîé áåçâèõðåâîé æèäêîñòè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ U.
Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ. Îïðåäåëèòü ïîòåíöèàë φ ïîëÿ ñêîðîñòè, à òàêæå äàâ-
ëåíèå æèäêîñòè íà øàð. Äàâëåíèå âäàëè îò øàðà ðàâíî p∞ .
Ðåøåíèå . Ñâÿæåì ñ øàðîì ñèñòåìó îòñ÷¼òà S 0 . Èñïîëüçóåì ñôåðè÷åñêóþ ñè-
ñòåìó êîîðäèíàò (r,ϑ,ϕ) ñ íà÷àëîì â öåíòðå øàðà è ïîëÿðíîé îñüþ, íàïðàâ-
ëåííîé ïî U.  ýòîì ñëó÷àå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ïîòåíöèàëà φ0 â ñèñòåìå
S 0 áóäóò èìåòü âèä
         ¯                         ¯
     ∂φ ¯¯                         ¯
             = 0,              φ0 ¯¯         = −U r cos ϑ.                               (10.24)
     ∂r ¯r=a                           r=∞

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî òå÷åíèå îáëàäàåò àçèìóòàëüíîé ñèììåòðèåé, ðåøåíèå óðàâíå-
íèÿ Ëàïëàñà (êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò φ0 ) ìîæíî èñêàòü â âèäå

    φ0 = R(r)P (ϑ).                                                                      (10.25)

Ïîäñòàâëÿÿ (10.25) â óðàâíåíèå Ëàïëàñà
                         µ            ¶                µ          ¶
              1 ∂               ∂φ0            1     ∂        ∂φ0       1    ∂ 2 φ0
                             r2            + 2          sin ϑ       + 2 2           =0
              r2 ∂r             ∂r          r sin ϑ ∂ϑ        ∂ϑ     r sin ϑ ∂ϕ2
è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì
          µ              ¶
     d            2 dR
              r              − λR = 0,                                                   (10.26)
     dr            dr
                    µ                  ¶
       1 d          dP
              sin ϑ                        + λP = 0,                                     (10.27)
     sin ϑ dϑ       dϑ
ãäå λ  ïîñòîÿííàÿ ðàçäåëåíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå (10.27) èìååò îäíî-
çíà÷íûå íåïðåðûâíûå ðåøåíèÿ ïðè λ = l(l +1), ãäå l = 0, 1, 2, . . . . Òàêèìè ðå-
øåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìû Ëåæàíäðà Pl (cos ϑ) (íàïðèìåð, P0 = 1, P1 =
cos ϑ ). Èç (10.26) ïðè λ = l(l + 1) äëÿ ðàäèàëüíîé ôóíêöèè íàéäåì

                                               Rl = Al rl + Bl r−l−1 ,

                                                         93

Страницы