Модели продольного удара. Манжосов В.К. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

41
Учитывая
(2.2)
в
(2.1),
имеем
−
ρ
Aa
x
dx +
∂
∂
N
x
dx = 0 ,
x
N
∂
∂
−
ρ
Aa
x
=
0. (2.3)
Продольная
сила
в
поперечном
сечении
стержня
N = EA
x
u
∂
∂
,
где
Е −
модуль
упругости
1-
го
рода
материала
стержня
,
x
u
∂
∂
−
относи
-
тельная
продольная
деформация
в
сечении
х, u = u(x,t) −
продольное
переме
-
щение
поперечного
сечения
, t −
время
.
Тогда
,
учитывая
,
что
x
N
∂
∂
=
x
∂
∂
( EA
x
u
∂
∂
), a
x
=
2
2
t
u
∂
∂
,
получим
из
(2.3)
x
∂
∂
( EA
x
u
∂
∂
) − ρA
2
2
t
u
∂
∂
= 0. (2.4)
Дифференциальное
уравнение
(2.4)
должно
быть
дополнено
соответст
-
вущими
для
каждой
задаче
начальными
и
граничными
условиями
.
Для
однородного
стержня
(E = const, A = const)
уравнение
(2.4)
преобра
-
зуется
к
виду
EA
2
2
x
u
∂
∂
–
ρ
A
2
2
t
u
∂
∂
= 0, 0
x
l
или
2
2
x
u
∂
∂
–
2
1
a
2
2
t
u
∂
∂
= 0, 0
x
l
(2.5)
где
a =
E / ρ
−
скорость
распространения
упругой
волны
в
материале
стержня
(
для
стали
a
≈
5000
м
/c).
Начальные
условия
при
t = 0:
u
x
,
)
0
0
=
,
≤
=
lx
xV
t
xu
<0 ,0
0,= ,
)0,(
0
∂
∂
.
Граничные
условия
:
если
x = 0,
(
)
,0
,0
<
x
tu
∂
∂
(
)
(
)
x
tu
EA
t
tu
M
∂
∂
∂
∂
,0,0
2
2
= ,

Страницы