Составители:
Рубрика:
66
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=
−=
−
−
10
2
10
2
αα
αα
t
t
e
e
.
Откуда
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=
−=
−−
−−
tt
tt
ee
ee
2
1
2
0
2
α
α
.
Таким образом,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+⋅==
−−
−−
⋅
)2()(2
2
32
0
0
0
)(
22
22
11
1
0
0
10
tttt
tttt
tA
eeee
eeee
AJeAF
αα
α
α
α
αα
.
Пример. Определить
tA
e
⋅
, где
A
- матрица вида
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
425
206
310
A
.
Матрица имеет два корня
1
=
λ
и один корень
2=
λ
. Многочлен
λ
α
λ
α
α
λ
210
)( ++=R
. Три уравнения относительно
i
α
определяются
из системы
,
421
210
111
2
1
0
2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
α
α
t
t
t
e
te
e
откуда имеем
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
t
t
t
e
te
e
2
1
2
1
0
421
210
111
α
α
α
.
Найдем обратную матрицу, используя теорему Кэли – Гамильтона. Ха-
рактеристический многочлен матрицы
C
коэффициентов равен
0146
23
=−+−
λλλ
.
Следовательно
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==−+−
421
210
111
,0446
23
CJCCC
.
66
e − t = α 0 − α1 ⎫⎪
− 2t
⎬.
e = α 0 − 2α 1 ⎪⎭
Откуда
α 0 = 2 e − t − e − 2 t ⎫⎪
⎬.
α 1 = e − t − e − 2 t ⎪⎭
Таким образом,
⎡α 0 ⎤ ⎡ 0 α1 ⎤
F ( A) = e A ⋅t = α 0 ⋅ J + α 1 A = ⎢ 0 +
⎥ ⎢ − 2α ⎥=
⎣ 0 α 0⎦ ⎣ 1 − 3 α 1⎦
⎡ 2e − t − e 2t e − t − e 2t ⎤ .
=⎢ −t 2t −t 2t ⎥
⎢⎣ − 2 ( e − e ) − ( e − 2 e ) ⎥⎦
A ⋅t
Пример. Определить e , где A - матрица вида
⎡ 0 1 3⎤
A = ⎢⎢ 6 0 2 ⎥⎥ .
⎢⎣ − 5 2 4 ⎥⎦
Матрица имеет два корня λ = 1 и один корень λ = 2 . Многочлен
R ( λ ) = α 0 + α 1λ + α 2 λ . Три уравнения относительно α i определяются
из системы
⎡ e t ⎤ ⎡1 1 1 ⎤ ⎡α 0 ⎤
⎢ t⎥ ⎢
⎢ te ⎥ = ⎢ 0 1 2 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ α 1 ⎥⎥ ,
⎢ e 2t ⎥ ⎢1 2 4 ⎥⎦ ⎢⎣α 2 ⎥⎦
⎣⎢ ⎦⎥ ⎣
откуда имеем
−1 ⎡ et ⎤
⎡α 0 ⎤ ⎡ 1 1 1⎤
⎢ α ⎥ = ⎢0 ⎢ ⎥
⎢ 1⎥ ⎢ 1 2 ⎥⎥ ⋅ ⎢ te t ⎥ .
⎢⎣α 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 4 ⎥⎦ ⎢e 2t ⎥
⎢⎣ ⎥⎦
Найдем обратную матрицу, используя теорему Кэли – Гамильтона. Ха-
рактеристический многочлен матрицы C коэффициентов равен
λ3 − 6λ 2 + 4λ − 1 = 0 .
Следовательно
⎡1 1 1⎤
C 3 − 6C 2 + 4C − 4 J = [0 ], C = ⎢⎢ 0 1 2 ⎥⎥ .
⎢⎣ 1 2 4 ⎥⎦
