Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 65 стр.

                                               65

жен быть многочленом степени n − 1 . Из этого следует, что если Q ( λ ) -
аналитическая функция в области, то
      F (λ ) = Q (λ ) ⋅ D (λ ) + R (λ ) ,                              (52)
где D ( λ ) - характеристический многочлен A , а R ( λ ) - многочлен вида
      R ( λ ) = α 0 + α 1 λ + α 2 λ 2 + L + α n −1 λ n −1 .                  (53)
      Коэффициенты α 0 , α 1 , α 2 , L , α n −1 находятся путем последовательной
подстановки λ1 , λ 2 , L , λ n в уравнение (52). Учитывая, что D ( λ i ) = 0 , по-
лучим уравнения
      F ( λ1 ) = R ( λ 1 ) , ⎫
      F ( λ 2 ) = R ( λ 2 ) , ⎪⎪
                               ⎬                                (54)
      L                        ⎪
      F ( λ n ) = R ( λ n ) . ⎪⎭
      Поскольку Q ( λ ) является аналитической в области аналитичности
F ( λ ) , то область аналитичности содержит все характеристические числа
матрицы A и вместо переменной λ можно подставить A . Тогда
        F ( A) = Q ( A) ⋅ D ( A) + R ( A) .
       Так как согласно теореме Кэли – Гамильтона Q ( A ) = [0 ] , то
        F ( A) = R ( A) .
       Рассмотрим случай кратных характеристических корней. Если A со-
держит характеристический корень λ i порядка r , то в результате подста-
новки в уравнение (52) получим одно линейно независимое уравнение. Ос-
тальные r − 1 линейных уравнений, необходимых для нахождения α i опре-
деляются дифференцированием обеих частей уравнения (52)
      d k F (λ )              d k R (λ )
              k    λ = λi =          k     λ = λ i , k = 1, 2, K , r − 1 .
         dλ                     dλ
    Пример. Найти переходную матрицу состояния ϕ (t ) если матрица A
дифференциального уравнения имеет вид
        ⎡ 0          1 ⎤
      A=⎢
                    − 3⎥⎦
                          .
        ⎣− 2
     Корни характеристического уравнения: λ1 = − 1 ; λ 2 = − 2 . Так как
матрица A второго порядка, то многочлен R ( λ ) - первого порядка
      R ( λ ) = α 0 + α 1λ .
     После подстановки λ1 = − 1 ; λ 2 = − 2 в уравнение (52) получим два
линейных уравнения