Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 64 стр.

                                       64

где A - матрица с постоянными коэффициентами размерности ( n × n ) , век-
тор X - матрица столбец ( n × 1) состоящая из n векторов x1 , x 2 , L , x n .
Подобно решению скалярных дифференциальных уравнений решение урав-
нения (49) представляется в виде
      X (t ) = e A ( t −τ ) X (τ ) ,
где матрица ϕ (t ) = e
                             A ⋅t
                         называется переходной матрицей состояния систе-
мы, описываемой уравнением (49). Переходная матрица состояния описывает
движение конца вектора состояния в пространстве состояний из некоторого
начального положения, а потому описывает и изменение (переход) состояния
системы.
     Необходимо отметить, что объем вычислений при определении пере-
ходной матрицы состояния обычно больше, чем при решении линейного
дифференциального уравнения относительно зависимой переменной. Однако
имеющаяся дополнительная информация позволяет проектировщику систе-
мы управления использовать более совершенные методы проектирования.
     Вычисление переходной матрицы состояния может выполняться не-
сколькими способами:
     - на теореме Сильвестра;
     - на методе Кэли – Гамильтона;
     - разложением в бесконечный ряд;
     - на методе частотной области;
     - и т.д.
     Метод Кэли – Гамильтона. Рассмотрим случай, когда степень мат-
ричного многочлена N ( A ) выше, чем порядок A . Разделив N ( λ ) на ха-
рактеристический многочлен A , получим
        N (λ )             R (λ )
                = Q (λ ) +        ,                                    (50)
        D (λ )             D (λ )
где R ( λ ) - остаточный член. Умножив уравнение (50) на D ( λ ) , получим
       N (λ ) = Q (λ ) ⋅ D (λ ) + R (λ ) .                             (51)
       При D ( λ ) = 0 уравнение (51) превращается в
       N (λ ) = R (λ ) .
       Соответственно, так как D ( A ) = [0 ] , то матричная функция
 N ( A) = R ( A)
       Распространим описанный метод на случай когда требуется определить
F ( A ) , где F ( λ ) - аналитическая функция λ в окрестности начала коорди-
нат. Если F ( λ ) является аналитической функцией в какой либо области. То
она может быть в этой области в виде бесконечного сходящегося ряда по λ .
Поэтому функция F ( A ) может быть представлена в виде многочлена от A
степени n − 1 . Следовательно, остаточный член R ( λ ) уравнения (51) дол-