Квантовые свойства атомов. Мартинсон Л.К - 1 стр.

                                 МГТУ им. Н.Э. Баумана
                             Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В.
              Методические указания к решению задач по курсу общей физики.
                          Раздел «Квантовые свойства атомов».
                                      Москва, 2003.

     В методических указаниях содержится краткий обзор основных понятий и соотношений кванто-
     вой теории атомов, необходимых для решения задач. Изложена методика решения типовых задач
     и приведены условия задач для самостоятельного решения. Представленный материал предпола-
     гает проработку раздела курса общей физики «Элементы квантовой механики».
     Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.

  1. КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ.
        К числу важных физических объектов относятся атомные системы. Наиболее простыми
из таких систем являются водородоподобные атомы, т. е. атомы или ионы, в которых один
единственный электрон движется в кулоновском поле ядра с зарядом +Ze, где е - элементарный
электрический заряд, Ζ - атомный номер элемента. Для атома водорода Z=1, для однократно ио-
низированного атома гелия Не+ Ζ=2, для двукратно ионизированного атома лития Li++ Z=3.
        В 1913 г. Η. Бор предложил теорию, которая позволила рассчитать полную энергию
электрона в водородоподобных атомах. Одним из постулатов этой теории является тот, соглас-
но которому электрон может двигаться вокруг ядра только по таким стационарным орбитам,
для которых момент импульса электрона имеет определенные дискретные значения L = n! , где
n=1, 2, 3, … - номер стационарной орбиты, ! - рационализированная постоянная Планка. Тео-
рия Бора не является законченной теорией атомных систем и не может описать всех их свойств,
так как она не учитывает наличия у электрона волновых свойств.
        Полностью описать свойства водородоподобных атомов смогла только квантовая меха-
ника. В этой теории для того, чтобы найти волновые функции, описывающие квантовые со-
стояния электрона в водородоподобном атоме, необходимо решить стационарное уравнение
Шредингера
                                        ˆ = Eψ
                                       Hψ                                              (1.1)
где Ĥ - оператор полной энергии (гамильтониан), а Е - полная энергия электрона.
       Так как потенциальная энергия электрона, находящегося в электрическом поле ядра на
расстоянии r от него,
                                             Ze 2                                      (1.2)
                                    U(r)= -         ,
                                            4πε 0 r
то гамильтониан Ĥ в рассматриваемой задаче
                                          2
                                  ˆ = - ! Δ +U(r) ,
                                  H
                                       2m0
где m0 - масса электрона.
       Уравнение Шредингера (1.1) может быть представлено в виде
                                   2m         Ze 2                                      (1.3)
                              Δψ + 2 0  E +         ψ=0
                                    !       4πε 0 r 
       Уравнение (1.3) удобнее решать в сферической системе координат (r, θ, φ), центр кото-
рой совпадает с центром ядра атома. Будем считать ядро неподвижным. В такой системе коор-
динат волновая функция имеет вид ψ=ψ(r, θ, φ), а оператор Лапласа
                                             1                                            (1.4)
                                   Δ = Δ r + 2 Δθ,ϕ
                                             r
содержит радиальную часть