Квантовые свойства атомов. Мартинсон Л.К - 5 стр.

                                       4πε 0 !2 n 2 a 2
                                    rn =        ⋅ = ⋅n .
                                        m0 e2 Z Z
Для скорости электрона на n-й орбите получаем значение
                                                 Ze 2
                                        vn =            .
                                               4πε 0 !n
      Полная энергия электрона, движущегося по n-й стационарной орбите, равна сумме кине-
тической и потенциальной энергий:
                                                m v2       Ze 2
                                 E = EK +U = 0 n -                 .
                                                  2       4πε 0 rn
Подставляя сюда найденные значения rn и vn, находим полную энергию электрона в водородо-
подобном атоме
                                             m0 e4         Z2
                                      E=-                ⋅    .
                                           32π 2 ε 20 ! 2 n 2
Задача 1.2. Определите кратность вырождения энергетических уровней водородоподобного
атома.
Решение. Кратностью вырождения энергетического уровня называется число возможных кван-
товых состояний с одинаковым значением полной энергии электрона, равным энергии этого
уровня.
        Полная энергия электрона в атоме определяется (см. 1.7) значением главного квантового
числа n. В нерелятивистской квантовой механике Шредингера квантовое состояние электрона в
атоме задается тремя квантовыми числами, причем для заданного значения n орбитальное кван-
товое число l может принимать n значений от 0 до n-1, а каждому значению соответствует
(2l+1) значений магнитного квантового числа m.
        Поэтому кратность вырождения энергетического уровня N в этой теории подсчитаем,
найдя число возможных комбинаций чисел l и m для заданного значения квантового числа n.
Следовательно, без учета спина электрона, кратность вырождения энергетического уровня
                                               n-1
                                           N = ∑ ( 2l +1) .
                                               l=0
Для этой арифметической прогрессии, содержащей n слагаемых, значения первого и последнего
членов прогрессии
                                          a1=1, an=2n-1.
Поэтому по формуле суммы арифметической прогрессии находим
                                       ( a + a ) n (1+ 2n - 1) n = n2 .
                               N = Sn = 1 n =
                                            2            2
С учетом спина электрона и двух возможных значений спинового квантового числа mS=± 1/2,
кратность вырождения уровней удваивается. Поэтому окончательно, для кратности вырожде-
ния n -го энергетического уровня в водородоподобном атоме, получаем значение
                                              N = 2n 2 .
Задача 1.3. Определите разность длин волн между головными линиями серий Бальмера λБ и
Лаймана λЛ в спектре излучения иона Li++ (Z=3).
Решение. Г о л о в н о й линией спектральной серии излучения водородоподобного атома назы-
вается спектральная линия, соответствующая переходу на уровень с главным квантовым чис-
лом n2 с ближайшего энергетического уровня, т. е. с уровня, для которого n1=n2 + 1. Так как для
линий серии Лаймана n2=1, а для линий серии Бальмера n2=2, то для частот головных линий
этих серий из (1.13) получаем следующие значения: