Квантовые свойства атомов. Мартинсон Л.К - 7 стр.

Задача 1.5. Вычислите вероятность нахождения электрона в основном состоянии в атоме водо-
рода вне границ классической области движения.
Решение. Полную энергию электрона в основном состоянии в атоме водорода найдем из (1.7)
при Z=1 и n=1. Имеем
                                                 m0 e4
                                        E=-                  .
                                              32π 2 ε 20 ! 2
Так как по классическим представлениям полная энергия Ε движущейся частицы не может
быть меньше ее потенциальной энергии U, то в границах классической области движения E≥U.
Потенциальная энергия электрона в поле ядра
                                                             e2
                                              U(r)= -               .
                                                           4πε 0 r
Поэтому классическая теория допускает движение электрона, находящегося в основном со-
стоянии, лишь в области пространства, для которой
                                              m0e 4              e2
                                          -                ≥ -         .
                                            32π 2 ε 20 ! 2     4πε 0 r
Отсюда находим границу шаровой области, в которой может двигаться электрон с точки зрения
классической теории:
                                                    8πε 0 ! 2
                                            rКЛ =              = 2a,
                                                       m0 e2
где а - первый боровский радиус.
        Вероятность нахождения электрона вне классической области движения
                                       ∞                          ∞
                                                                      1 - 2r
                       P ( r ≥ rКЛ ) = ∫ ψ100 ⋅ 4πr 2 dr = ∫ 3 e a ⋅ 4πr 2 dr =
                                               2

                                       2a                        2 a πa
                            ∞      2                    ∞
                         1  2r  - 2ar  2r  1 2 -x
                      = ∫   e ⋅ d   = ∫ x e dx.
                         2 2a  a              a  24
Интегрируя по частям, находим
                                                              ∞
                                        1  -x 2
                        P ( r ≥ rКЛ ) = e ( -x - 2 x - 2 ) = 13e-4 = 0, 238.
                                                            
                                        2                     4
Таким образом, искомая вероятность обнаружить электрон в основном состоянии атома водо-
рода вне границ области, разрешенной для движения электрона в классической механике, ока-
залась равной 23,8 %.
Задача 1.6. Электрон в атоме водорода находится в квантовом состоянии, описываемой волно-
вой функцией вида ψ = А ( 1 + αr ) е β r , где А, α и β - некоторые постоянные. Определите значе-
ния постоянных Α, α, β и полную энергию электрона Е.
Решение. Уравнение Шредингера для атома водорода (1.3) можно записать в следующем виде:
                                           !2        e2
                                       -      Δψ -         ψ = Eψ.
                                          2m0      4πε 0 r
Поскольку заданная в условии задачи волновая функция зависит только от радиальной коорди-
наты r, то оператор Лапласа Δ содержит только радиальную часть (1.5), т. е.
                                 1 ∂  2 ∂  ∂2 2 ∂
                                  Δ=   r   =    +     .
                                r 2 ∂r  ∂r  ∂r 2 r ∂r
Найдем первую и вторую производные волновой функции ψ по r:
                    ∂ψ   ∂
                       =
                    ∂r ∂r
                           ( Ae β r + A α re β r ) = A (α + β ) e β r + A αβ re β r ;