Составители:
() ( )
2
ββ2 ββ2 β
2
ψ
= α + ββe+αβe+αβ e= 2α + ββe+αβ e
rr r r r
AAArA Ar
r
∂
∂
Подставляя производные в уравнение Шредингера, получи м
() ()
() ()
2
2
0
2
0
22
2
2
11
4
rr r r
rr
AA
AeAre e re
mrr
e
AreEAre.
r
ββ β β
ββ
−α+
ββ
+α
β
+α+
β
+α
β
−
−+α=+α
πε
!
Сокращая обе части равенства на
r
Ae
β
и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r, при-
ходим к соотношению
()
()
222 2
1 02
000 0
2
1 2
0
24
242 4
0.
2
ee
rr E
mm
rE
m
−
+
−α+
β
−+−α
β
+
β
−α−+
πε πε
+− αβ−α=
!!
!
Для того чтобы левая часть этого равенства обращалась в нуль при любых значениях r, необхо-
димо, чтобы коэффициенты при всех степенях r были равны нулю. Это приводит к следующей
системе уравнений
()
()
2
2
0
22
2
00
22
00
0
2
40
24
0
4
E;
m
e
E;
m
e
.
m
β+ =
α
β
+
β
+α+=
πε
α+β + =
πε
!
!
!
Из первого уравнения этой системы находим
2
2
0
2
E.
m
=−
β
!
Подставляя это значение во второе уравнение, получаем
2
0
2
0
1
82
me
.
a
β=− =−
πε
!
Теперь из третьего уравнения находим
2
0
2
0
1
82
me
.
a
α=β=− =−
πε
!
Следовательно, постоянные α и β найдены, а полная энергия электрона
42
2
0
22 2
00
2 128
me
E.
m
=− β =−
πε
!
!
Теперь волновая функция может быть записана в виде
2
1
2
r
a
r
Ae.
a
−
ψ= −
Коэффициент А найдем из условия нормировки волновой функции
()
2
2
0
4 1r r dr .
∞
ψ
⋅π =
∫
Подставляя в это соотношение найденную волновую функцию, получим
∂2ψ
= A (α + β ) βeβr + Aαβeβr + Aαβ 2 reβr = A ( 2α + β ) βeβr + Aαβ 2 reβr
∂r 2
Подставляя производные в уравнение Шредингера, получим
!2
(α + β ) eβr + αβreβr −
2A 2A
− A ( 2α + β ) β eβr + Aαβ2 reβr +
2m0 r r
e2
− A (1 + αr ) eβr = EA (1 + αr ) eβr .
4πε 0 r
βr
Сокращая обе части равенства на Ae и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r, при-
ходим к соотношению
−1 !2 e2 0 !2 e2
r − 2 (α + β ) − + r −
4πε 0
( 4αβ + β ) −
2
4πε 0
α − E +
2m0 2m0
! 2
+ r +1 − αβ 2 − αE = 0.
2m0
Для того чтобы левая часть этого равенства обращалась в нуль при любых значениях r, необхо-
димо, чтобы коэффициенты при всех степенях r были равны нулю. Это приводит к следующей
системе уравнений
!2 2
β + E = 0;
2 m 0
! 2 e2
2 m
( 4 αβ + β 2
) 4πε α + E = 0;
+
0 0
! 2
e 2
(α + β ) + = 0.
m0 4πε0
Из первого уравнения этой системы находим
!2 2
E=− β .
2m0
Подставляя это значение во второе уравнение, получаем
m e2 1
β=− 0 2 =− .
8πε 0 ! 2a
Теперь из третьего уравнения находим
m e2 1
α=β=− 0 2 =− .
8πε 0 ! 2a
Следовательно, постоянные α и β найдены, а полная энергия электрона
!2 2 m0 e4
E=− β =− .
2m0 128π2 ε 02 ! 2
Теперь волновая функция может быть записана в виде
r − 2ra
ψ = A 1 − e .
2a
Коэффициент А найдем из условия нормировки волновой функции
∞
∫ ψ ( r ) ⋅ 4πr dr = 1.
2 2
0
Подставляя в это соотношение найденную волновую функцию, получим
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
