Квантовые свойства атомов. Мартинсон Л.К - 9 стр.

                                             ∞                 2       r
                                               r  −a 2
                              4 πA 2 ∫  1 −        e r dr = 1 .
                                      0       2 a 
Вводя новую переменную интегрирования x=r/a, приводим это равенство к виду
                                      ∞
                                                    1 
                             4πA2 a 3 ∫  x 2 − x3 + x 4  e− x dx = 1.
                                      0             4 
Вычисляя по частям интегралы
                        ∞                            ∞                                         ∞
                    I1 = ∫ x e dx = 2, I 2 = ∫ x e dx = 6, I3 = ∫ x 4e − x dx = 24 ,
                            2 −x                          3 −x

                        0                            0                                         0
находим, что
                                                     8πA2a3=1.
Отсюда
                                                      1                1
                                            A=                 =                   .
                                                     8πa 3         2 2πa 3
Итак, волновая функция электрона
                                                      r  − 2ra
                                                         1
                                  ψ (r ) =        1 −  e
                                           2 2πa3  2a 
точно соответствует волновой функции ψ200, описывающей квантовое состояние 2s - электрона
(см. табл. 2). Найденная полная энергия электрона также соответствует формуле (1.7) для n=2.
Задача 1.7. Для основного состояния электрона в атоме водорода определите средние значения
следующих величин: а) расстояния электрона от ядра r, б) модуля силы взаимодействия элек-
трона и ядра; в) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.
Решение. В соответствии с основными положениями квантовой механики среднее значение
физической величины f, которой соответствует квантово-механический оператор Φ̂ , опреде-
лятся соотношением
                                    < f >= ∫ ψ ∗ Φ  ˆ ψ dV .
                                                          "N
      1. Так как оператор радиальной координаты r̂ = r есть оператор умножения на эту коор-
динату, а в основном состоянии электрона в атоме водорода волновая функция
                                                                                           r
                                                 ∗                         1           −
                                       ψ = ψ = ψ 100 =                             e       a   ,
                                                                       πa 3
то
                                   ∞                                           ∞
                                                                       4 3 − 2ar
                        < r >= ∫ ψ100 ( rˆ ψ100 ) 4πr 2 dr =
                                                                       a3 ∫0
                                                                             r e dr =
                                   0
                             ∞          3   2r                     ∞
                             a  2r  −     2r  a             a    3
                           = ∫   e a d   = ∫ x3e− x dx = ⋅ 6 = a.
                             4 0 a        a  40             4    2
2. Кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром
                                                       e2
                                          FK ( r ) =
                                                     4πε 0 r 2
зависит только от радиальной координаты. Поэтому оператор этой физической величины
F̂K = FK ( r ) есть оператор умножения на функцию FK ( r ) . Следовательно, среднее значение ку-
лоновской силы взаимодействия