Составители:
()
2
22
100 100
32
0
00
222
222
000
00
2
2
1
44
4
2
222
KK
r
a
r
x
a
e
ˆ
FFrdr erdr
ar
ere e
ed edx .
aaa a
∞∞
−
∞∞
−
−
<>=ψ ψ π = ⋅π =
ππε
===
πε πε πε
∫∫
∫∫
Можно отметить, что с такой силой электрон взаимодействует с ядром, находясь от него на
расстоянии
2
a
r = .
3. Поскольку оператор потенциальной энергии
()
ˆ
UUr= есть оператор умножения на функцию
()
2
0
4
e
Ur
r
=−
πε
,
то среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром в рассматри-
ваемом квантовом состоянии равно
()
2
22
100 100
3
0
00
22
00
00
2
2
1
44
4
22
44
x
r
a
r
a
e
ˆ
UUrdr erdr
ar
er re
ed xedx.
aa a a
∞∞
−
∞∞
−
−
<>=
ψψ
π=− ⋅π=
ππε
=− =−
πε πε
∫∫
∫∫
Отсюда
42
0
22 2
00
4 16
me
e
U.
a
<>=− =−
πε π ε
!
Задача 1.8. Определите среднее значение кинетической энергии <E
K
> и среднюю квадратиче-
скую скорость v
КВ
, электрона, находящегося в основном состоянии в атоме водорода.
Решение. Оператор кинетической энергии в квантовой механике имеет вид
2
0
2
K
ˆ
E.
m
=− ∆
!
Учитывая, что атом находится в основном состоянии (n=1, l=0) и ψ=ψ
100
, где
100
3
1
r
a
e,
a
−
ψ=
π
запишем формулу для расчета среднего значения кинетической энергии электрона в виде
()
2
100 100
0
4
KK
ˆ
EErdr
∞
<>=ψ ψ π
∫
.
Определим действие оператора
K
E
ˆ
на волновую функцию ψ
100
:
2222 2
100 100
100 100 100
22
00 0
22
22 2
K
ˆ
E.
mmrrrmrrr
∂ψ ∂ψ∂∂
ψ=− ∆ψ=− + ψ=− +
∂∂ ∂ ∂
!! !
Вычислив первую и вторую производные ψ
100
по r,
100
5
2
100
2
7
1
1
r
a
r
a
e;
r
a
e,
r
a
−
−
∂ψ
=−
∂
π
∂ψ
=−
∂
π
находим, что
∞ ∞ 2r
e2
( ) 1 −
< FK >= ∫ ψ100 Fˆ K ψ100 4πr 2 dr = 3 ∫ e a ⋅ 4πr 2 dr =
0
πa 0 4πε0 r 2
∞ 2r ∞
e2 −
a d 2r = e2 e2
2πε0 a 2 ∫0 2 ∫
−x
= e e dx = .
a 2πε0 a 0 2πε0 a 2
Можно отметить, что с такой силой электрон взаимодействует с ядром, находясь от него на
a
расстоянии r = .
2
3. Поскольку оператор потенциальной энергии Û = U ( r ) есть оператор умножения на функцию
e2
U (r ) = −
,
4πε0 r
то среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром в рассматри-
ваемом квантовом состоянии равно
∞ ∞ 2r
e2
( ) 1 −
< U >= ∫ ψ100 ˆ
U ψ100 4πr dr = − 3 ∫
2
e a ⋅ 4πr 2 dr =
0
πa 0 4πε 0 r
2 ∞ 2r ∞
e 2r − a 2r e2
=− ∫ e d = −
4πε 0 a 0 a a
∫
4πε 0 a 0
xe − x dx.
Отсюда
e2 m0e 4
< U >= − =− .
4πε0 a 16π2 ε02 ! 2
Задача 1.8. Определите среднее значение кинетической энергии и среднюю квадратиче-
скую скорость vКВ, электрона, находящегося в основном состоянии в атоме водорода.
Решение. Оператор кинетической энергии в квантовой механике имеет вид
!2
ÊK = − ∆.
2m0
Учитывая, что атом находится в основном состоянии (n=1, l=0) и ψ=ψ100 , где
r
1 −
ψ 100 = e a ,
πa 3
запишем формулу для расчета среднего значения кинетической энергии электрона в виде
∞
(
< EK >= ∫ ψ100 Eˆ K ψ100 4πr 2 dr . )
0
Определим действие оператора ÊK на волновую функцию ψ100:
!2 ∂2 2 ∂
!2 ! 2 ∂ 2 ψ 100 2 ∂ψ 100
Ê K ψ100 = − ∆ψ100 = −
2 + ψ
100 = − + .
2 m0 ∂r r ∂r
2 m0 2 m0 ∂ r 2 r ∂r
Вычислив первую и вторую производные ψ100 по r,
r
∂ψ100 1 −
=− e a;
∂r πa 5
r
∂ 2 ψ100 1 −
= − e a
,
∂r 2 πa 7
находим, что
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
