Квантовые свойства атомов. Мартинсон Л.К - 12 стр.

                                 ∞                                          ∞
                             e       2r    2r   2r      e
                   ϕ=−            ∫   exp  −  d   = −
                           4πε0 a 0  a     a   a 
                                                                   ∫
                                                            4πε0 a 0
                                                                     x e − x dx .

Так как
                                       ∞            ∞

                                       ∫ x e dx = ∫ e dx = 1,
                                            −x       −x

                                       0            0

то
                                                     e
                                            ϕ=−            .
                                                   4πε 0 a
Подстановка численных значений констант дает ϕ=-27,2 В.
Задача 1.10. Покоящийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии
серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом? На сколько процентов энергия испущенного
фотона отличается от энергии соответствующего перехода в атоме?
Решение. Головная линия серии Лаймана соответствует переходу между первым возбужден-
ным и основным состояниями атома водорода. Энергия такого перехода
                                                   1 1  3
                              ∆E = E2 − E1 = !R  2 − 2  = !R.
                                                   1 2  4
                                                             ε
Если энергия излученного фотона равна ε, а его импульс p = , то законы сохранения энергии
                                                             c
и импульса в системе «атом - фотон» запишутся в виде
                                                    mau 2
                                          ∆E = ε +       ;
                                                      2
                                          
                                           ε = m u.
                                           c   a

Здесь mа - масса атома водорода, а u - скорость «отдачи» атома за счет испускания фотона.
Решая записанную систему уравнений, получаем квадратное уравнение относительно искомой
скорости u:
                                                        ∆E
                                        u 2 + 2cu − 2      = 0.
                                                        ma
Решая это уравнение, находим скорость атома
                                                                1
                                                        ∆E  2
                                      u = −c + c  1 + 2         .
                                                        ma c 2 
                           ∆E
Расчет показывает, что 2          << 1. Поэтому
                           ma c 2
                                            1
                                      ∆E  2      1 2∆E         ∆E
                                1 + 2     2 
                                               ≈ 1+ ⋅     2
                                                            = 1+        ,
                                      ma c       2 ma c        ma c 2
а скорость атома
                                             ∆E        3!R
                                           u=       =      .
                                             ma c 4ma c
Подставляя значения физических констант, находим
                              3 ⋅1,05 ⋅10−34 ⋅ 2 ,07 ⋅1016
                          u=                               = 3, 25 м/с .
                                 4 ⋅1, 67 ⋅10−27 ⋅ 3 ⋅108
       Относительное отличие энергии испущенного фотона ε от энергии перехода ΔΕ опреде-
ляется выражением