Квантовые свойства атомов. Мартинсон Л.К - 11 стр.

                                                                                    r
                                                                 !2   1     1 2  −a
                                          ÊK ψ100 = −                        − e .
                                                                         5 a
                                                                2m0   πa      r
Поэтому
                                  ∞                       r                             r
                                            1         −        !2  1        1 2  −a
                  < EK >= ∫                       e       a
                                                              −             −  e ⋅ 4πr dr =
                                                                                          2

                                  0        πa 3                2m0  πa
                                                                         5
                                                                             a r
                           !2              1 ∞  2 r  2 − 2 r  2r  ∞  2 r  − 2 r  2 r  
                  =−                        ∫   e a d   − 2∫   e a d    =
                          2m0 a 2          2 0  a            a  0 a             a  
                         !2        ∞ −x      1 2 −x 
                                                ∞
                                                               !2
                  =                ∫
                                   2  xe dx −   ∫ x e dx  =          .
                        2m0 a 2    0         2 0           2 m0 a 2


Таким образом, средняя кинетическая энергия электрона в 1s-состоянии равна
                                                         !2       m0 e 4
                                                < EK >=        =             .
                                                        2m0 a 2 32π2 ε02 ! 2
      Важно отметить, что с учетом найденного в задаче 1.7 среднего значения потенциальной
энергии  электрона в этом же квантовом состоянии можно доказать, что сумма средних
значений кинетической и потенциальной энергий равна полной энергии электрона в основном
состоянии. Действительно,
                                                    m0 e 4        m0 e 4            m0 e 4
                  < EK > + < U >=                              −              = −              = E1 .
                                                  32π2 ε 02 ! 2 16π2 ε 02 ! 2     32π2ε 02 ! 2
Средняя квадратическая скорость электрона
                                2 < EK >    !    e2
                 v КВ   = =       2
                                         =     =        = 2, 2 ⋅106                              м/с .
                                   m0      m0 a 4πε 0 !
Выполненный расчет показывает, что скорость 1s-электрона в атоме водорода составляет около
1 % от скорости света в вакууме.
       Задача 1.9. Определите средний электростатический потенциал, который создает 1s-
электрон в центре атома водорода.
       Решение. Объемная плотность электрического заряда в электронном «облаке», окру-
жающем ядро атома водорода,
                                          ρ Э ( r ) = −e ψ ,
                                                                             2


где ψ - волновая функция электрона. Для 1s-электрона
                                                  1         r
                                     ψ100 =            exp  − 
                                                  πa 3      a
и
                                                    e      2r 
                                   ρЭ ( r ) = − 3 exp  −  .
                                                  πa       a 
        Пространственное распределение заряда в данном случае обладает сферической симмет-
рией. Поэтому потенциал dφ, который создается в центре атома тонким сферическим слоем
электронного облака радиуса r и толщины dr, определяется соотношением
                                 ρЭ ( r ) 4πr 2 dr        er          2r 
                           dϕ =                      =−          exp  −  .
                                     4πε 0 r            πε 0 a 3
                                                                      a 
Интегрируя это выражение по всем значениям r от 0 до ∞, находим искомый потенциал в цен-
тре атома: