Квантовые свойства атомов. Мартинсон Л.К - 6 стр.

                                             1 1  3
                                  ωЛ = Z 2 R  2 - 2  = Z 2 R;
                                             1 2  4
                                              1 1 5
                                  ωБ = Z 2 R  2 - 2  = Z 2 R.
                                              2 3  36
Длины волн излучений для этих линий
                                  2πс      8πс           2πс 72πс
                             λЛ =      = 2 ; λБ =             =    .
                                   ω Л 3Z R              ωБ 5Z 2 R
Отсюда находим искомую разность этих длин волн
                                                     176 πс
                                    Δλ = λ Б - λ Л =           .
                                                      15 Z 2 R
Подставляя числовые значения, находим Δλ=5,93⋅10-8 м = 59,3 нм.
Задача 1.4. Найдите наиболее вероятное расстояние rB электрона от ядра в водородоподобном
атоме, находящемся в 1s - состоянии. Определите вероятность нахождения электрона в области
r≤rB.
Решение. В основном 1s - состоянии (n=1, l=0, m=0) волновая функция электрона в водородо-
подобном атоме
                                                                 32
                                                1 Z                      r
                                         ψ100 =                     exp  -Z 
                                                 πa                      a
не зависит от угловых координат.
       Поэтому по смыслу волновой функции вероятность dP обнаружить электрон в тонком
шаровом слое радиуса r и толщины dr в сферически симметричном квантовом состоянии
                                                                      2
                                                      dP = ψ100 dV.
Здесь dV=4πr2dr - объем рассматриваемого шарового слоя. Следовательно,
                                dP = ψ100 4πr 2 dr = ω ( r ) dr,
                                                        2


где радиальная плотность вероятности
                                                             3
                                                  Z              r
                                      ω ( r ) = 4   r 2exp  -2 Z  .
                                                  a              a
      Наиболее вероятным расстоянием электрона от ядра будет расстояние rB, для которого
радиальная плотность вероятности ω(r) будет максимальна.
      Приравняв производную ω(r) по r к нулю, получим, что при r=rB
                              r       2Z            r                 r      Z
                2r ⋅ exp  -2 Z  - r 2      exp  -2 Z  = 2r ⋅ exp  -2 Z  1 - r  = 0 .
                              a        a            a                 a      a
Отсюда находим, что
                                                        Z
                                                    rB = .
                                                        a
Вероятность того, что электрон находится в шаровой области r≤rB,
                                    rB                                        3a Z              r
                                                              1Z                       -2 Z
                      P ( r ≤ rB ) = ∫ ψ100                                     ∫
                                                2
                                                    ⋅ 4πr dr =  
                                                         2
                                                                                     e          a
                                                                                                    ⋅ 4πr 2 dr =
                                    0                         π a             0
                          a Z            2        r                       2
                      1         r           
                                             -2 Z  r 1
                      = ∫  2Z  e
                      2 0       a
                                          ⋅ d  2 Z  = ∫ x 2 e-x dx.
                                              
                                                  a
                                                   a 2 0
Интегрируя по частям, получаем
                                                           2
                                     1 -x 2
                       P ( r ≤ rB ) = e (-x - 2 x - 2 ) = 1- 5e-2 = 0,323.
                                     2                     0