Элементы квантовой механики. Мартинсон Л.К - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике 20
Интегрирование в (3.38) проводится по области, где E < U (см. рис. 8).
Туннельный эффект позволяет объяснить такие физические явления,
как α-распад ядер, холодную или автоэлектронную эмиссию электронов
с поверхности металлов и ряд других физических явлений.
3.1 Примеры решения задач
☞ Задача.Задача 3.1. Электрон находится в потенциальной яме ши-
риной a = 5 ·10
−10
м с бесконечно высокими стенками. Найти минималь-
но возможное значение энергии электрона в квантовом состоянии, для
которого плотность вероятности обнаружения электрона в центре ямы
равна нулю.
☞ Решение.Стационарные волновые функции, описывающие кван-
товые состояния электрона в потенциальной яме, определяются выраже-
нием (3.28). Исходя из статистического смысла волновой функции для
плотности вероятности обнаружения электрона в различных точках ямы,
получим
w(x) =
dP
dx
= |Ψ
n
(x)|
2
=
2
a
sin
2
πnx
a
, 0 6 x 6 a
По условию задачи эта плотность вероятности обнаружения частицы
в точке x =
2
a
равна нулю. Это приводит к соотношению sin
πn
2
= 0.
Из этого соотношения следует, что существует множество квантовых
состояний, в которых вероятность обнаружить электрон в центре ямы
равна нулю. Эти состояния соответствуют значениям квантового числа
n = 2, 4, 6, . . .. Но так как полная энергия электрона, движущегося в
потенциальной яме, определяется выражением
E
n
=
π
2
~
2
2m
0
a
2
n
2
,
то минимальное значение полной энергии соответствует минимальному
значению квантового числа n, т.е. для найденных состояний n = 2. По-
этому
E
min
= E
2
=
π
2
~
2
2m
0
a
2
=
2 ·(3.14)
2
· (1.05 · 10
−34
)
2
9.1 · 10
−31
· (5 · 10
−10
)
2
w 9,5 ·10
−19
Дж .
           Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике                    20


Интегрирование в (3.38) проводится по области, где E < U (см. рис. 8).
   Туннельный эффект позволяет объяснить такие физические явления,
как α-распад ядер, холодную или автоэлектронную эмиссию электронов
с поверхности металлов и ряд других физических явлений.


3.1    Примеры решения задач
☞ Задача.Задача 3.1. Электрон находится в потенциальной яме ши-
риной a = 5 · 10−10 м с бесконечно высокими стенками. Найти минималь-
но возможное значение энергии электрона в квантовом состоянии, для
которого плотность вероятности обнаружения электрона в центре ямы
равна нулю.
   ☞ Решение.Стационарные волновые функции, описывающие кван-
товые состояния электрона в потенциальной яме, определяются выраже-
нием (3.28). Исходя из статистического смысла волновой функции для
плотности вероятности обнаружения электрона в различных точках ямы,
получим
                       dP              2     πnx
             w(x) =       = |Ψn (x)|2 = sin2     ,          06x6a
                       dx              a      a
По условию задачи эта плотность вероятности обнаружения частицы
в точке x = a2 равна нулю. Это приводит к соотношению sin πn   2
                                                                  = 0.
Из этого соотношения следует, что существует множество квантовых
состояний, в которых вероятность обнаружить электрон в центре ямы
равна нулю. Эти состояния соответствуют значениям квантового числа
n = 2, 4, 6, . . .. Но так как полная энергия электрона, движущегося в
потенциальной яме, определяется выражением

                                         π 2 ~2 2
                                 En =          n ,
                                        2m0 a2
то минимальное значение полной энергии соответствует минимальному
значению квантового числа n, т.е. для найденных состояний n = 2. По-
этому

                     π 2 ~2     2 · (3.14)2 · (1.05 · 10−34 )2
      Emin = E2 =           2
                              =          −31            −10 2
                                                               w 9,5 · 10−19 Дж .
                    2m0 a        9.1 · 10      · (5 · 10 )

Страницы