Элементы квантовой механики. Мартинсон Л.К - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике 21
☞ Задача.Задача 3.2. Частица в одномерной потенциальной яме
с бесконечно высокими стенками шириной a находится в низшем (пер-
вом) возбужденном состояний. Определите вероятность обнаружения ча-
стицы в интервале
1
4
a, равноудалённом от стенок ямы.
☞ Решение.Квантовое состояние частицы с минимально возмож-
ным значением энергии называется основным, или невозбужденным со-
стоянием. Такому состоянию при движении частицы в яме соответствует
значение квантового числа n = 1. Остальные состояния называются воз-
буждёнными. Низшее возбуждённое состояние соответствует значению
n = 2. Это квантовое состояние описывается волновой функцией
Ψ
2
(x) =
s
2
a
sin
2πx
a
, 0 6 x 6 a .
Согласно вероятностному смыслу волновой функции, вероятность обна-
ружения частицы в интервале x
1
< x < x
2
определяется выражением
P =
x
2
Z
x
1
|Ψ(x)|
2
dx.
В нашей задаче x
1
=
3
8
a, а x
2
=
5
8
a. Поэтому искомая вероятность есть
P =
2
a
5
8
a
Z
3
8
a
sin
2
2πx
a
dx =
1
4
−
1
2π
w 0.09 .
☞ Задача.3.3 При каком отношении высоты потенциального по-
рога U
0
к энергии налетающей частицы E коэффициент отражения R =
0.5?
☞ Решение.Из выражения (3.36) для коэффициента отражения
следует, что при E < U
0
, когда параметр k
2
= ik является чисто мнимой
величиной, а |k
1
−ik| = |k
1
+ ik|, частица всегда отражается от высокого
потенциального порога, так как для этого случая R = 1. Если же по
условию задачи R < 1, то, следовательно, потенциальный порог в дан-
ной задаче является низким и E > U
0
. Обозначив через ε < 1 искомое
отношение
U
0
E
, запишем выражение для коэффициента отражения в виде
R =
k
1
− k
2
k
1
+ k
2
2
=
√
E −
√
E − U
0
√
E +
√
E − U
0
2
=
1 −
√
1 − ε
1 +
√
1 − ε
!
2
.
          Задачи о стационарных состояниях в квантовой механике       21


   ☞ Задача.Задача 3.2. Частица в одномерной потенциальной яме
с бесконечно высокими стенками шириной a находится в низшем (пер-
вом) возбужденном состояний. Определите вероятность обнаружения ча-
стицы в интервале 14 a, равноудалённом от стенок ямы.
   ☞ Решение.Квантовое состояние частицы с минимально возмож-
ным значением энергии называется основным, или невозбужденным со-
стоянием. Такому состоянию при движении частицы в яме соответствует
значение квантового числа n = 1. Остальные состояния называются воз-
буждёнными. Низшее возбуждённое состояние соответствует значению
n = 2. Это квантовое состояние описывается волновой функцией
                                s
                                    2     2πx
                   Ψ2 (x) =           sin     ,     06x6a.
                                    a      a
Согласно вероятностному смыслу волновой функции, вероятность обна-
ружения частицы в интервале x1 < x < x2 определяется выражением
                                       Z2
                                       x

                                P =         |Ψ(x)|2 dx.
                                       x1

В нашей задаче x1 = 83 a, а x2 = 58 a. Поэтому искомая вероятность есть
                         5
                         Z
                         8
                           a
                     2                2πx     1  1
                 P =           sin2       dx = −   w 0.09 .
                     a                 a      4 2π
                         3
                         8
                           a

    ☞ Задача.3.3 При каком отношении высоты потенциального по-
рога U0 к энергии налетающей частицы E коэффициент отражения R =
0.5?
    ☞ Решение.Из выражения (3.36) для коэффициента отражения
следует, что при E < U0 , когда параметр k2 = ik является чисто мнимой
величиной, а |k1 − ik| = |k1 + ik|, частица всегда отражается от высокого
потенциального порога, так как для этого случая R = 1. Если же по
условию задачи R < 1, то, следовательно, потенциальный порог в дан-
ной задаче является низким и E > U0 . Обозначив через ε < 1 искомое
отношение UE0 , запишем выражение для коэффициента отражения в виде
                         2   √      √        2        √     !2
                k 1 − k2       E − E − U0          1− 1−ε
         R=                = √      √          =      √         .
                k1 + k2        E + E − U0          1+ 1−ε

Страницы