Составители:
Рубрика:
81
"гармоническое среднее" и "гармоническая прогрессия". В его представлении
числа, наподобие чисел на игральных костях или картах, обладают формой.
Мы все ещё говорим о квадратах и кубах чисел, и этими терминами мы
обязаны Пифагору. Пифагор точно так же говорил о продолговатых,
треугольных, пирамидальных числах и так далее. Это были числа горстей
гальки (или, более естественно для нас, числа горстей дроби), требуемые для
образования формы. Пифагор, очевидно, полагал, что мир состоит из
атомов, что тела построены из молекул, состоящих в свою очередь из атомов,
упорядоченных в различные формы. Таким образом, он надеялся сделать
арифметику научной основой в физике, так же как и в эстетике.
Положение, согласно которому сумма квадратов сторон
прямоугольного треугольника, прилежащих к прямому углу, равна квадрату
третьей стороны - гипотенузы, было величайшим открытием Пифагора или
его непосредственных учеников. Египтяне знали, что треугольник, стороны
которого равны 3, 4 или 5, является прямоугольным, но, очевидно, греки
первыми заметили, что 3 в квадрате плюс 4 в квадрате равно 5 в квадрате и,
исходя из этого предположения, открыли доказательство общей теоремы.
К несчастью для Пифагора, эта его теорема сразу же привела к
открытию несоизмеримости, а это явление опровергало всю его
философию. В прямоугольном равнобедренном треугольнике квадрат
гипотенузы равен удвоенному квадрату любой из сторон. Предположим, что
каждый катет равен одному дюйму; какова в таком случае длина гипотенузы?
Допустим, что её длина равна n дюймов. Тогда m в квадрате, делённое на n в
квадрате, равно 2. Если m и n имеют общий множитель, разделим их на него.
В таком случае, по крайней мере, или m, или n должно быть нечетным. Но
теперь учтём, что раз m в квадрате равно 2 n в квадрате, следовательно, m в
квадрате - чётное и, стало быть, m - чётное, а n - нечётное. В таком случае
предположим, что m равно 2 p. Тогда 4 p в квадрате равно 2 n в квадрате;
следовательно, n в квадрате равно 2 p в квадрате, следовательно, n - чётное,
что противоречит допущению. Поэтому гипотенузу нельзя измерить
дробным числом m/n. Это доказательство является, по существу,
доказательством, которое приводится у Евклида в книге 10. Однако это
доказательство не принадлежит самому Евклиду. Вышеприведенное
доказательство, вероятно, было известно ещё Платону.
Это доказательство говорит о том, что, какую бы единицу длины мы ни
выбрали, существуют отрезки, которые не находятся в точном числовом
отношении к этой единице, то есть что нет таких двух целых чисел m и n,
при которых рассматриваемый отрезок, взятый m раз, был бы равен единице
длины, взятой n раз. Это положение привело греческих математиков к мысли,
что геометрию следует развивать независимо от математики. Некоторые
места в платоновских диалогах показывают, что в его время была принята
независимая от арифметики трактовка геометрии; этот принцип получил
свое завершение у Евклида. В книге второй Евклид доказывает геометрически
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
