Темы философии науки. Мартынович С.Ф. - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

200
один объект, и множество всех таких объектов рассматривалось как новая
совокупность. Однако при очевидном, казалось бы, переходе к
канторовской теории множеств, появились затруднения, среди которых
знаменитые парадокс Кантора (1899), парадокс Рассела (1902-1903),
парадокс Ришара (1905) и др., актуальным оказался древний парадокс
лжеца или парадокс Эпименида
277
. Были предложены аксиоматические
теории множеств Цермело (1908), Френкеля (1922), Сколема (1923) и др.,
на базе которых можно было обосновать анализ. В них исключалось
образование слишком обширных множеств, чтобы предотвратить
возникновение упомянутых антиномий. Но проблема оснований
математики в широком смысле не была решена, поскольку оставалась
непонятной сама возможность возникновения антиномий при условии, что
в кульминирующих в теории множеств арифметике и анализе речь идёт о
системах объектов, которые порождаются генетически определениями,
предназначенными для полного описания их структуры. Появление
противоречий в этих областях, свидетельствовало о какой-то ошибке в
методах построения математических объектов или в логике вообще. Кроме
того, оказалось, что некоторые части математики (в т.ч. анализ) содержат
непредикативные определения, т.е. такие понятия, которые определяют
некоторый объект со ссылкой на совокупность, к которой принадлежит
этот объект (например, определение наименьшей верхней грани непустого
множества множеств действительных чисел). Традиционно выделяют три
основных направления в решении этих проблем: логицистическая (или
логицистская) школа (Рассел, Уайтхед), интуиционистская школа (Брауэр),
формалистическая школа (Гильберт). Представителей логического
позитивизма (Р. Карнап, Ф. Кауфман и др.) если и не вовсе исключают из
списка мыслителей, предложивших свой ответ на поставленный ходом
277
Примеры изложения этих парадоксов можно найти во многих книгах. Мы приведём здесь их
описательную характеристику из статьи «Логицистские основания математики» Рудольфа Карнапа:
«”Логическими антиномиями” называют противоречия, проявившиеся прежде всего в теории множеств
(так называемые “парадоксы”), однако Рассел показал, что они носят общелогический характер: если не
предполагать теории типов, то такие противоречия можно обнаружить и в самой логике. Одна из
простейших антиномий связана с понятием “несамоприменимый”. Можно определить: некоторое
свойство является “несамоприменимым”, если оно не принадлежит самому себе. Является ли тогда
несамоприменимым само свойство “несамоприменимости”? Допустим, что является; в таком случае,
согласно определению “несамоприменимости”, оно не является несамоприменимым. Допустим, что не
является; в таком случае, согласно определению, оно является несамоприменимым. В соответствии с
законом исключенного третьего, должно быть верным либо да, либо нет, однако в обоих случаях мы
приходим к противоречию. Другим примером является сформулированная Греллингом антиномия,
связанная с понятием “гетерологический”. Она полностью аналогична только что приведенной, но
относится не к свойствам, а к словам, обозначающим свойства. Определяют: некоторое слово является
“гетерологическим”, если обозначаемое этим словом свойство не принадлежит самому себе. (Пример:
слово «односложный» является гетерологическим, так как оно само не является односложным.) Легко
убедиться в том, что допущение, что слово “гетерологический” само является гетерологическим, как и
противоположное допущение, ведут к противоречию. Сам Рассел и другие логики сформулировал
множество антиномий такого рода». (Карнап Р. Логицистские основания математики // Журнал
“Erkenntnis” («Познание»). Избранное / Пер. с нем. А. Л. Никифорова. Под ред. О. А. Назаровой. – М.:
Издательский дом «Территория будущего», Идея-Пресс, 2006. С. 231 – 232).

Страницы