Темы философии науки. Мартынович С.Ф. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

202
для типа 1 свойства, которые определяются без упоминания какой-либо
совокупности, относятся к порядку 0, а свойства, которые определяются с
помощью совокупности свойств этого порядка, относятся к следующему за
ним порядку. Теперь логицистское определение натурального числа
становится предикативным, поскольку Р в нём рассматривается как
пробегающее только по свойствам данного порядка, а свойство быть
натуральным числом принадлежит следующему порядку. Однако такое
разделение на порядки делает невозможным построение обычного анализа,
который содержит непредикативные определения. Рассел избегает этого
затруднения, постулируя аксиому сводимости, согласно которой для
каждого свойства, принадлежащего ненулевому порядку, имеется
равнообъёмное (имеющее место в точности для тех же объектов) свойство
нулевого порядка. Эта аксиома означает, что для каждого
непредикативного определения внутри данного типа имеется
эквивалентное ему предикативное определение, если только определимые
свойства рассматриваются как существующие.
На основе этого, как известно, была выполнена дедукция математики
из логики с помощью логической символики в фундаментальном труде
Уайтхеда и Рассела “Principia mathematica”
280
. Эта дедукция была
предложена в качестве интуитивной аксиоматики. Начальные аксиомы
предлагается принять как вероятные гипотезы о мире. Однако именно
необоснованная необходимость «верить» в аксиому сводимости
характеризует логицизм как неудовлетворительный, или, образно говоря,
не абсолютно легитимный вариант решения проблемы оснований
математики.
Фрэнк Пламптон Рамсей обнаружил, что цели логицизма могут быть
достигнуты без иерархии порядков, т.е. разветвлённую теорию типов он
считал излишней и ограничивался простой
281
. Он разделил антиномии на
«логические» (парадоксы Рассела, Кантора, Бурали – Форти) и
«эпистемологические» или «семантические» (парадоксы Ришара и
Эпименида). Логические антиномии, как замечает Рамсей, исключаются
простой иерархией типов, а семантические не могут появиться внутри
символического языка простой теории типов из-за отсутствия в ней
средств, которые требуются для описания выражений этого языка. Но его
доводы, к которым ещё нужно будет вернуться в связи с позицией Карнапа
в вопросе обоснования непредикативных определений внутри данного
типа, предполагают понятие совокупности всех предикатов этого типа как
существующей независимо от их конструируемости или определяемости.
Следовательно, позиция Рамсея также несвободна от предпосылок,
280
Whitehead Alfred and Russell Bertrand. Principia mathematica, Vol. 1, XV+666 p. (2nd ed. 1925), Vol. 2,
1912, XXIV+772 p. (2nd ed. 1927), Vol. 3, 1913, X+491 p. (2nd ed. 1927). Cambridge, England (University
Press). 1910 – 13.
281
Ramsey F. The foundations of Mathematics. Proc. of the London Math. Soc.; Ser. 2, vol. 25, Part 5, 1926.

Страницы