Разработка управленческого решения. Машунин Ю.К. - 100 стр.

                                                                                                 100


       Aq(t)Xq(t) ≤ Bq(t), q = 1, Q ,                (6.8.4)
       Xq(t) ≥ 0, q = 1, Q ,
       где X(t) = {Xq(t), q = 1, Q } – вектор неизвестных, определяющий объемы продукции, выпус-
каемой ИС в целом, Xq(t) = {Xj, j = 1, Nq, q = 1, Q } – ее локальными подсистемами; (6.8.1) – вектор-
ный критерий q = 1, Q ЛП; (6.8.2) – обобщенный векторный критерий ВП; (6.8.4) – ограничения, на-
кладываемые на функционирование каждой из q = 1, Q ЛП; (6.8.3) – глобальные ограничения, накла-
дываемые на двухуровневой ИС в целом в период планирования t ∈ T.
      В результате решения ВЗМП (6.2.13)-(6.2.17) получим:
      Xq*(t), fk(Xq*(t)), k = 1, K q , q = 1, Q , – точки оптимума по отдельным критериям и величины
всех критериев в этой точке;
       Х0q (t), λ0q (t) – точку оптимума функционирования q-ой ИС и максимальную относительную
оценку такую, что
       λ0q (t) ≤ λkq(X0q (t)), k = 1, K q , q = 1, Q .
       Но так как ЛП независимы, то в соответствии с теоремой 1 (разд. 6.4) в точке Xo(t) все отно-
сительные оценки независимых критериев равны между собой и равны λo(t).
       λo(t) = λ1(Xo1(t)) =...= λq(Х0q (t)) =...= λQ(XoQ(t)).         (6.8.5)
       Эти данные являются исходными для доказательства нижеприведенных теорем.
       Теоретические результаты.
       Теорема 1 (Об ИС, развитых равномерно и пропорционально).
       Если в ВЗМП (6.8.1)-(6.8.4) для любой пары индексов q, k ∈ Q пересечение подмножеств ин-
дексов переменных пусто, т. е. критерии независимы:
       ∀q,k ∈ K Nq ∩ Nk = ∅, q ≠ k, Nq⊂N, Nk⊂N,               (6.8.6)
       то в точке оптимума Xo(t), полученной на основе нормализации критериев и принципа гаран-
тированного результата, в каждый промежуток времени t = 1, ..., T при увеличении ограничений B(t)
на ∆B(t + 1) все ЛП развиты равномерно (т. е. относительные оценки равны между собой и равны λo)
и пропорционально (т. е. приращение ∆λ = λo(t + 1) - λo(t) одинаково для всех ЛП ∀t, (t + 1) ∈ T).
       Доказательство.
       Решим ВЗМП в первоначальный момент времени t=1. Результат решения описан соотноше-
ниями (6.8.5). В точке оптимума Xo(t) часть глобальных ограничений (6.8.3) может быть неравенст-
вами:
        Q
        ∑ ( Aq Xoq(t)) < Bq(t), q = 1, Q ,                     (6.8.7)
       q =1
       а остальные строгими равенствами:
        Q
        ∑ ( Aq Xoq(t)) = Bq (t), q = 1, Q .                    (6.8.8)
       q =1
       Пусть часть прибыли, получаемые от Xo(t) – объемов продукции, пойдет на воспроизводство.
При этом увеличиваются ресурсы, затраченные полностью, т. е. те, которые описаны ограничениями
со строгими равенствами (6.8.8) или близкими к ним неравенствами (2.8.7). Тогда ресурсы (6.8.3) в
планируемом году (t + 1) ∈ T увеличатся на ∆B(t + 1) и примут вид:
       A(t)X(t) ≤ B(t) + ∆B(t + 1).                 (6.8.9)
       Заменим (6.8.3) на (6.8.9) и решим ВЗПМ (6.8.1)-(6.8.4). В результате получим новую опти-
мальную точку Xo(t + 1), в которой максимальная относительная оценка λo(t + 1) увеличивается на
некоторую величину ∆λ(t + 1) относительно λo(t):
       λo(t + 1) =λo(t) + ∆λ(t + 1),
       но в соответствии с теоремой 1 в точке Xo(t + 1) относительные оценки всех ЛП будут равны
между собой:
       λo(t+1) = λ1(Xo1(t + 1)) =...= λq(Х oq (t + 1)) =...= λQ(XoQ(t + 1)). (6.8.10)