Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

77
Определение 6.11. Углом между ненулевыми векторами
n
Eyx ∈,
на-
зывают число
];0[
π
∈
φ
, для которого выполнено:
(
)
.,,
,
cos Θ≠=φ yx
yx
yx
Определение 6.12. Векторы
Eyx
∈
,
евклидова пространства
E
на-
зываются ортогональными, если для них выполнено
(
)
0, =
yx
.
Если
x
и
y
– ненулевые, то из определения следует, что угол между
ними равен
2π
. Заметим, что нулевой вектор по определению считается
ортогональным любому вектору.
6.8. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС
Определение 6.13. Базис
{
}
n
eee ...;;;
21
евклидова пространства
n
E
называется ортогональным, если векторы этого базиса попарно ортого-
нальны, т.е. если
(
)
0,:,1, =→≠=∀
ji
eejinji
.
Определение 6.14. Если все векторы ортогонального базиса
{
}
n
eee ...;;;
21
единичны, т.е.
(
)
1,,1 =→=∀
ii
eeni
, то базис называется
ортонормированным, т.е. для ортонормированного базиса выполнено:
( )
(
)
nji
ji
ji
ee
ji
,1,
,,1
;,0
, =
=
≠
=
.
Теорема 6.4 (о построении ортонормированного базиса). Во всяком
пространстве
n
E
существуют ортонормированные базисы.
Доказательство. Докажем теорему для случая
3
=
n
.
Пусть
321
;; aaa
– произвольный базис пространства
3
E
. Построим
ортонормированный базис
321
;; eee
в этом пространстве.
Положим
12211
, eaeae λ+==
, где
R
∈
λ
выбрано так, чтобы
(
)
0,
21
=ee
, т.е.
(
)
(
)
(
)
(
)
0,,,,
112112121
=λ+=λ+= aaaaaaaee
. Из последне-
го равенства следует, что
(
)
( )
11
21
,
,
aa
aa
−=λ
, а
(
)
( )
1
11
21
22
,
,
a
aa
aa
ae −=
.
Далее определим вектор
R∈µµµ+µ+=
21221133
,,eeae
выбраны
так, чтобы

Страницы