Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

78
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
⇒
=µ+
=µ+
⇒
=µ+µ+
=µ+µ+
⇒
=
=
,0,,
;0,,
,0,
;0,
,0,
;0,
22232
11131
221132
221131
32
31
eeae
eeae
eeae
eeae
ee
ee
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
−=µ
−=µ
⇒
µ−=
µ−=
⇒
.
,
,
;
,
,
,,,
;,,
22
32
2
11
31
1
22232
11131
ee
ae
ee
ae
eeae
eeae
(
)
( )
(
)
( )
2
22
32
1
11
31
33
,
,
,
,
e
ee
ae
e
ee
ae
ae −−=
.
Допустим, что система векторов
321
,, eee
– линейно зависимая.
Тогда существует нетривиальная линейная комбинация
,
332211
Θ=η+η+η eee
где
0
321
>η+η+η
.
Проведём преобразование полученной линейной комбинации к сис-
теме векторов
321
,, aaa
:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
.
33232222313211
1222113312211
22113312211
Θ=η+µη+η+λµη+µη+λη+η
⇒
⇒
Θ=λµ+µ+µ+η+λ+η+η
⇒
⇒
Θ
=
µ
+
µ
+
η
+
λ
+
η
+
η
aaa
aaaaaaa
eaaaaa
Но, исходя из того, что система векторов
321
,, aaa
– линейно неза-
висимая, то все коэффициенты в полученном разложении могут быть
только нулевыми, т.е.
=η
=η
=η
⇒
=η
=µη+η
=λµη+µη+λη+η
.0
;0
;0
,0
;0
;0
3
2
1
3
232
2231321
Следовательно, допущение о линейной зависимости
321
,, eee
–
неверно.
Остаётся пронормировать построенный базис, для чего каждый из
построенных векторов надо разделить на его длину.
Теорема доказана.
Пример 6.1. Построить ортонормированный базис
{
}
321
;; eee
на ос-
нове векторов
(
)
(
)
(
)
1;0;0,3;12;4,0;4;3 === ADACAB
.
Решение. Воспользуемся теоремой 6.4:
(
)
(
)
5169,0;4;3
1111
=+==⇒== eeeABe
.
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )( )
=−=−= 0;4;3
25
3;12;40;4;3
3;12;4
,
,
1
11
1
2
e
ee
ACe
ACe
−
3;
5
12
;
5
16
.

Страницы