Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

80
7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
7.1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА, ЯДРО, ОБРАЗ
Пусть заданы два пространства
1
L
и
2
L
.
Определение 7.1. Говорят, что задан оператор
A
, действующий из
пространства
1
L
, в
2
L
(
21
:
LLA
→
), если
1
Lx
∈∀
ставится в соответствие
2
Ly
∈
, что записывается в виде
Axy
=
.
Определение 7.2. Оператор
A
называется линейным, если
1
,
Lyx
∈∀
и
R
∈
λ
∀
выполнено:
1) свойство аддитивности:
)()()(
yAxAyxA
+=+
;
2) свойство однородности:
).()(
xAxA
λ=λ
Замечание. Вместо условий 1) и 2) можно рассмотреть единственное
условие
)()()( yAxAyxA
µ
+
λ
=
µ
+
λ
.
Определение 7.3. Ядром линейного оператора
21
:
LLA
→
называется
множество всех таких векторов
1
Lx
∈
, что
2
Θ=
Ax
, где
2
Θ
– нулевой
элемент пространства
2
L
.
Ядро оператора
A
обозначается
A
ker
. Таким образом,
}|{ker
2
Θ==
AxxA
.
Определение 7.4. Образом линейного оператора
21
:
LLA
→
называ-
ется множество всех таких векторов
2
Ly
∈
, для которых существует та-
кой
1
Lx
∈
, что
yAx
=
.
Образ оператора
A
обозначается
A
Im
. Таким образом,
)})((|{Im yAxxyA
=∃=
Теорема 7.1. Ядро
Aker
линейного оператора
21
: LLA
→
есть под-
пространство пространства
1
L
, а образ
A
Im
указанного оператора есть
подпространство пространства
2
L
.
Доказательство. Пусть
R
∈
µ
λ
,
, если
Axx ker,
21
∈
, то
Θ=Θ+Θ=µ+λ=µ+λ
2121
)( AxAxxxA
, т.е.
Axx ker
21
∈µ+λ
. Итак, ядро
Aker
есть подпространство пространства
1
L
.
Пусть теперь
Ayy Im,
21
∈
. Это значит, что найдутся
121
, Lxx ∈
(
2211
, yAxyAx ==
), но тогда
)(
212121
xxAAxAxyy µ+λ=µ+λ=µ+λ
,
откуда и следует, что
Ayy Im
21
∈µ+λ
. Теорема доказана.

Страницы