Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

81
7.2. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В этом разделе рассматриваются алгебраические операции, позво-
ляющие по известным линейным операторам получать новые линейные
операторы.
Сумма линейных операторов. Если
21
: LLA →
и
21
: LLB →
– ли-
нейные операторы, действующие из линейного пространства
1
L
в линей-
ное пространство
2
L
, то однозначно определён линейный оператор
21
: LLBA →+
, называемый суммой операторов
A
и
B
такой, что
))(( BxAxxBAx
+
=
+
∀
.
Умножение линейного оператора на число. Если
21
: LLA →
– линей-
ный оператор, и
α
– вещественное число, то оператор
A
α
, называемый
результатом умножения
A
на число
α
, определяется так, что
))(( AxxAx
α
=
α
∀
.
Композиция линейных операторов. Если
32
: LLA →
и
21
: LLB →
–
линейные операторы, то в том случае, когда область значений
B
содер-
жится в области определения оператора
A
, определён оператор
31
: LLAB →
, называемый композицией (или произведением)
A
на
B
:
))(( BxAABxx =∀
.
Обратный линейный оператор. Пусть
21
: LLA →
– линейный опера-
тор. Если определён такой линейный оператор
12
1
: LLA →
−
, что
)(
1
yAxxyAy =⇔=∀
−
, то он называется обратным к
A
.
В частности, если
LLL ==
21
(т.е. рассматриваются линейные пре-
образования), то можно написать двойное тождество
I
A
A
AA
=
=
−− 11
, где
LLI
:
– единичный (тождественный) оператор, обладающий свойст-
вом
xxILx =
⇒
∈∀ )(
.
7.3. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Пусть
mn
LL →Φ :
– линейный оператор, действующий из линейного
пространства размерности
n
в линейное пространство размерности
m
.
Заданы произвольно базисы
{
}
n
eee ...;;
1
=
в
n
L
и
{
}
m
ggg ...;;
1
=
в
m
L
.
Поставим задачу: для произвольного вектора
n
Lx∈
вычислить координа-
ты вектора
m
Lxy ∈Φ= )(
в базисе
g
, если задана векторная матрица-
строка
(
)
(
)
(
)
(
)
n
eee ΦΦ=Φ ...;;
1
, состоящая из образов векторов базиса
e
в
базисе
{
}
m
ggg ...;;
1
=
.

Страницы