Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

76
Исходя из неравенства Коши – Буняковского, получим
(
)
2222
2 yxyyxxyx +=++≤+ , т.е.
yxyx +≤+
.
Неравенство треугольника доказано.
6.6. НОРМА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
Определение 6.9. Линейное пространство
L
называется метриче-
ским, если на нём задана функция
R
→
×
LLyx :),(ρ
, называемая рас-
стоянием между
Lyx
∈
,
и удовлетворяющая аксиомам:
1)
yxyxLyx =⇔=⇒∈∀ 0),(ρ,
;
2)
),(ρ),(ρ, xyyxLyx =⇒∈∀
(симметрия);
3)
),(ρ),(ρ),(ρ,, zyyxzxLzyx +≤⇒∈∀
– неравенство треугольника.
Определение 6.10. Линейное пространство
L
называется нормиро-
ванным, если на нём задана функция
R
→Lx
:
, называемая нормой,
удовлетворяющая аксиомам:
1)
0
≥
⇒
∈∀ xLx
, причём
Θ=⇔= xx
0
;
2)
xxLx λ=λ
⇒
∈λ∀∈∀
R,
;
3)
yxyxLyx +≤+
⇒
∈∀
,
– неравенство треугольника.
Нетрудно видеть, что нормированное пространство является метри-
ческим пространством. В самом деле, в качестве расстояния между
x
и
y
можно взять
yx −
. В евклидовом пространстве
n
E
в качестве нормы
любого вектора
n
Ex ∈
принимается его длина, т.е.
xx =
.
Нетрудно убедиться, что все аксиомы нормы выполняются для вы-
бранной таким образом нормы евклидова пространства
n
E
.
Итак, евклидово пространство
n
E
является метрическим простран-
ством и более того, евклидово пространство
n
E
является нормированным
пространством.
6.7. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
Заметим, что из неравенства Коши – Буняковского
(
)
yxyx ≤
,
сле-
дует, что
(
)
.,,1
,
Θ≠≤ yx
yx
yx

Страницы