Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

74
6.2. РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В L
Пусть
Laaa
n
∈...,,,
21
;
R∈λλλ
n
...,,,
21
.
Определение 6.2. Линейной комбинацией
n
aaa ...,,,
21
называется
выражение вида:
nn
aaa λ++λ+λ ...
2211
, где
n
λλλ ...,,,
21
называются
коэффициентами этой линейной комбинации.
Определение 6.3. Система элементов
n
aaa ...,,,
21
называется линей-
но независимой, если
Θ=λ++λ+λ
nn
aaa ...
2211
только при условии, что
0...
21
=λ==λ=λ
n
. В противном случае система
n
aaa ...,,,
21
называется
линейно зависимой.
Определение 6.4. Любая совокупность
n
линейно независимых век-
торов
n
aaa ,...,,
21
называется базисом пространства
L
, если
nnn
axaxaxxxxxLx
+++=∈∃∈∀ ...:...,,,
221121
R
.
Такое представление вектора
x
называется разложением его по дан-
ному базису. Числа
n
xxx
...,,,
21
называются координатами вектора в этом
базисе и записываются в виде:
(
)
n
xxxx
...;;;
21
=
или же используется за-
пись в виде матрицы-столбца.
Теорема 6.1. Координаты вектора
Lx
∈
относительно базиса
n
aaa
...,,,
21
этого линейного пространства определяются однозначно.
Доказательство. Пусть имеет место два различных разложения век-
тора
Lx
∈
относительно данного базиса
n
aaa
...,,,
21
:
nnnn
axaxaxxaxaxaxx
∗∗∗
+++=+++= ...;...
22112211
.
Почленно вычитая одно разложение из другого, получим
(
)
(
)
(
)
....
222111 nnn
axxaxxaxx
∗∗∗
−++−+−=Θ
Так как базисные векторы
n
aaa ...,,,
21
линейно независимы, то все
коэффициенты линейной комбинации
nixx
ii
,1,0 ==−
∗
, что означает
равенство координат в обоих разложениях. Теорема доказана.
Определение 6.5. Линейное пространство
n
L
называется пространст-
вом размерности
n
, если оно содержит
n
базисных векторов.
Определение 6.6. Подпространством
nm
L
L
⊂
называется множество
элементов из
n
L
, которое само является пространством.

Страницы