Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

75
6.3. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО E
n
Определение 6.7. Линейное пространство
L
называется евклидовым,
если в нём определена операция скалярного произведения векторов
(
)
R→× LLyx :,
, для которой выполнены условия:
1.
(
)
(
)
xyyxLyx ,,, =⇒∈∀
.
2.
(
)
(
)
(
)
zyzxzyxLzyx ,,,,, +=+⇒∈∀
.
3.
(
)
(
)
yxyxRLyx ,,,, λ=λ⇒∈λ∀∈∀
.
4.
(
)
0, ≥⇒∈∀ xxLx
и
(
)
Θ=⇔= xxx 0,
.
Евклидово пространство размерности
n
обозначают
n
E
.
Определение 6.8. Длиной (модулем) вектора
n
Ex∈
называют число
(
)
xxx ,=
. Операцию получения вектора
xxx =
0
, длина которого рав-
на единице, называют нормированием вектора.
6.4. НЕРАВЕНСТВО КОШИ – БУНЯКОВСКОГО
Теорема 6.2.
Eyx
∈
∀
,
выполнено неравенство Коши – Буняковского:
(
)
yxyx ≤,
.
Доказательство. Пусть
R
∈
λ
– произвольное число. В силу свойств
скалярного произведения можно написать:
1)
(
)
0, ≥−λ−λ yxyx
;
2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
yyyxxxyyxxyxyxyx ,,2,,,,
2
+λ−λ=−λ−λ−λ=−λ−λ
.
Следовательно,
(
)
(
)
(
)
0,,2,
2
≥+λ−λ yyyxxx
, что выполнимо, если
дискриминант данного квадратного неравенства меньше или равен 0, т.е.
(
)
(
)
(
)
0,,,
2
≤− yyxxyx
, откуда вытекает
(
)
yxyx ≤,
.
Теорема доказана.
6.5. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 6.3.
Eyx
∈
∀
,
имеет место неравенство треугольника:
yxyx +≤+
.
Доказательство. В силу свойств скалярного произведения имеем:
1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
,2,,2,, yyxxyyyxxxyxyx ++=++=++ ;
2)
( )
2
, yxyxyx +=++ – определение 6.8.

Страницы