Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

73
Раздел 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ОПЕРАТОРЫ
6. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА L
Пусть
{
}
...,, baL =
– множество, состоящее из элементов, называемых
векторами;
{
}
...,, βα=K
– множество так называемых скаляров, обла-
дающих свойствами, как минимум, алгебраического поля.
Например, если
R
=
K
(множество вещественных чисел), то говорят
о вещественном пространстве
L
. Аналогично можно рассмотреть ком-
плексное
L
. В дальнейшем будем рассматривать
R
=
K
, а для его эле-
ментов использовать термин «числа».
Определение 6.1. Множество L называется линейным пространством,
если:
I. Определена операция сложения (сумма):
Lyx
∈
∀
,
Lyx
∈
+
.
II. Определена операция умножения на число:
R
∈
λ
∀
,
Lx
∈
∀
Lx
∈
λ
.
III. Определено отношение равенства:
Lyx
∈
∀
,
(
)
(
)
yxyx ≠⊕=
.
IV. Операции сложения и умножения удовлетворяют 8 условиям:
1. Коммутативность сложения:
x
y
y
x
+
=
+
.
2. Ассоциативность сложения:
(
)
(
)
zyzzyx ++=++
.
3. Ассоциативность умножения на число:
(
)
(
)
xx µλ∈µλ
.
4. Дистрибутивность по отношению к сложению чисел:
(
)
xxx µ+λ=µ+λ
.
5. Дистрибутивность по отношению к сложению векторов:
(
)
yxyx λ+λ=+λ
.
6. Существует элемент
L
∈
, называемый нулевым, такой, что
(
)
xxLx =Θ+∈∀
.
7.
Lx
∈
∀
имеет место равенство
xxx
=
⋅
=
⋅
11
.
8.
Lx
∈
∀
)( xy −=∃
, называемый противоположным к элементу
x
,
такой, что
(
)
Θ=−+ xx
.
Замечание: ввиду выполнения свойств 2 и 3 допускается упрощённая
запись формул:
(
)
......)( +++=+++ zyxzyx
;
(
)
xx µλ=µλ
.

Страницы