Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

85
Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов:
1) составляется и решается характеристическое уравнение;
2) для каждого вещественного корня
0
λ
решается однородная систе-
ма (7.1); фундаментальные решения этой системы образуют базис под-
пространства, а общее решение определяет множество всех собственных
векторов, отвечающих
0
λ
.
Пример 7.2. Задана матрица
A
линейного оператора
33
: RR →ϕ
в
базисе
(
)
kji ;;
:
−−
−−
−−
=
121
231
222
A
.
Найти
: 1.
Собственные
числа
ϕ
. 2.
Собственные
векторы
ϕ
.
3.
Матрицу
перехода
T
от
базиса
{
}
kji ;;
к
базису
{
}
321
;; eee .
4.
Матрицу
линейного
оператора
в
базисе
{
}
321
;; eee .
Решение
: 1.
Собственные
числа
находятся
как
корни
характеристи
-
ческого
многочлена
)(λ
ϕ
P
:
0254
121
231
222
EA)(
23
=−λ−λ−λ−=
λ−−−
λ−−−
−λ−−
=λ−=λ
ϕ
P
.
С
целью
нахождения
целого
корня
уравнения
,
рассмотрим
все
дели
-
тели
свободного
члена
:
{
}
2,1 ±±
.
Обнаруживается
,
что
число
–1
является
корнем
.
Для
нахождения
остальных
корней
делим
многочлен
«
уголком
»
на
λ
+ 1.
Получаем
в
частном
)2()1(23
2
+λ+λ−=−λ−λ−
.
В
результате
(
)
(
)
21)(
2
+λ+λ−=λ
ϕ
P .
Имеются
два
собственных
значения
,
одно
из
которых
двукратно
,
т
.
е
.
спектр
ϕ
:
(
)
[
]
(
)
[
]
{
}
12
2,1 −−=
ϕ
S
.
2.
Нахождение
собственных
векторов
1
v
для
−1=λ
1
.
Вычисляем
( )
.022221
221
221
221
EA)(
1
=+−−=
⋅−−→
−−
−−
−−
=+=λ
ϕ
zyx
z
y
x
P
Так
как
подпространство
решений
двумерно
(
три
неизвестных
на
од
-
но
уравнение
),
y
и
объявляем
свободными
и
находим
базис
данного
подпространства
: 1)
20,1 −=→== xzy
; 2)
21,0 =→== xzy
,
т
.
е
.

Страницы