Алгебра. Аналитическая геометрия. Матвеев В.Н. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

84
В самом деле:
∑∑∑∑
====
αλ=λα=α=
α
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
xxAxxA
1111
, каковы
бы ни были собственные векторы
i
x
, отвечающие собственному числу
λ
,
и вещественные числа
i
α
.
Размерность подпространства
)(λ
A
P
называется геометрической крат-
ностью собственного числа
λ
. Само же это подпространство называется
собственным подпространством, отвечающим собственному числу
λ
.
Рассмотрим задачу об отыскании собственных векторов и собствен-
ных чисел линейного оператора.
Имеем:
xIx
λ
=
λ
, где
I
– тождественный оператор.
Тогда из равенства
xAx
λ
=
следует
Θ=λ−
xIA
)(
. Задавая произ-
вольно некий базис
e
, получим из последнего операторного уравнения –
матричное:
∅
=
λ
−
X)E(A
, (7.1)
где A – матрица оператора A в базисе
e
, и
Xex
=
.
Рассматривая (7.1) как однородную систему относительно столбца X,
получим, что для того, чтобы эта система имела ненулевые решения, не-
обходимо и достаточно, чтобы
0)EAdet( =λ−
. (7.2)
Используя понятие детерминанта линейного оператора, можно пере-
писать (7.2) в виде:
0)det(
=
λ
−
IA
. (7.3)
Уравнение (7.3) называется характеристическим уравнением опера-
тора
A
, а его корни – характеристическими числами данного оператора.
Множество всех характеристических чисел оператора с учётом их кратно-
сти образует его спектр. Из предыдущего ясно, что характеристическое
уравнение и спектр линейного оператора не зависят от выбора конкретно-
го базиса, являются, как говорят, инвариантами. Подчеркнём, что корни
характеристического уравнения могут быть комплексными. Сам детерми-
нант, образующий левую часть характеристического уравнения, является,
как нетрудно понять, многочленом n-й степени от
λ
и называется харак-
теристическим многочленом (полиномом) данного оператора. Собствен-
ные числа оператора – это в точности все вещественные характеристиче-
ские числа. Существует один важный класс линейных операторов – само-
сопряжённые операторы, когда весь спектр оператора лежит в вещест-
венной области. Тогда понятия характеристического и собственного числа
совпадают.

Страницы