ВУЗ:
Составители:
108
1. Сравнение значений функции. Этот способ сводится к тому,
что со значением функции в точке
∗
x
, «подозреваемой» на экстремум,
сравнивают два её значения, рассчитанные в точках, достаточно близ-
ких к исследуемой и расположенных слева и справа от неё, т.е. при
значениях переменной
ε−
∗
x
и
ε+
∗
x
, где ε – малая положительная
величина. Если при этом окажется, что оба рассчитанных значения
(
)
ε+
∗
xf
и
(
)
ε−
∗
xf
меньше или больше
(
)
∗
xf
, то в точке
∗
x
сущест-
вует максимум или минимум соответственно. Если же
(
)
∗
xf
имеет
промежуточное значение между
(
)
ε+
∗
xf
и
(
)
ε−
∗
xf
, то в точке
∗
x
функция f экстремума не имеет.
2. Сравнение знаков первой производной. В основе этого способа
лежит первый достаточный признак существования экстремума, со-
гласно которому, если при переходе через точку, «подозреваемую» на
экстремум, первая производная меняет знак, то в этой точке
∗
x
функция
имеет экстремум. Причём если знак меняется с «+» на «–», то в точке
∗
x
функция имеет максимум, а если с «–» на «+», – то минимум.
3. Исследование знаков второй производной. Этот способ ис-
пользует второй достаточный признак существования экстремума. Ес-
ли функция
(
)
xf
– непрерывна и имеет непрерывные первую и вто-
рую производные, а точка
∗
x
является «подозрительной» на экстре-
мум, тогда в точке
∗
x
будет минимум функции f, если
(
)
0>
′′
∗
xf
и
максимум – если
(
)
0<
′′
∗
xf
.
4. Исследование знаков высших производных. Если вторая произ-
водная в точке
∗
x
равна нулю, то для дальнейшего исследования не-
обходимо вычислить следующую производную и исследовать её знак.
При этом в общем случае руководствуются следующим правилом: ко-
гда порядок первой, не обращающейся в ноль производной в точке
∗
x
,
«подозреваемой» на экстремум, нечётный, то в этой точке функция
(
)
xf
не имеет ни максимума, ни минимума, т.е. точка
∗
x
не является
точкой экстремума функции
(
)
xf
. Если же порядок первой, не обра-
щающейся в ноль производной в точке
∗
x
, чётный, то в данной точке
есть экстремум функции
(
)
xf
, который будет максимумом или мини-
мумом в зависимости от того, отрицательна или положительна эта
производная.
Рассмотренные способы классического анализа исследования
функций верны в том случае, если функция
(
)
xf
является функцией
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
