Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

132
Другой подход предполагает использование фиксированной ве-
личины
)(k
λ
, которую выбирают из условия монотонного убывания
функции
(
)
(
)
)()1( kk
хfхf <
+
.
Формулу (13.4) применяют до тех пор, пока не выполнится одно
из условий:
1
)()1(
ε<−
+ kk
xх
или
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
ε<−
+ kk
xfxf
, или
(
)
(
)
2
1
ε<
′
+k
xf
, (13.5)
или их комбинация.
13.6.2. Метод Ньютона
В методе наискорейшего спуска направление поиска можно проин-
терпретировать как следствие линейной аппроксимации целевой функ-
ции в окрестности точки
)(k
х
(при выводе формулы используется толь-
ко линейный член ряда Тейлора). Однако движение в этом направлении
быстро приведёт к решению лишь в том случае, если целевая функция
является «правильной» (линии уровня – концентрические окружности).
Увеличить скорость поиска экстремума можно, если использовать при
определении направления поиска информацию, содержащуюся во вто-
рых частных производных целевой функции
)(xf
по независимым пе-
ременным. Выбор направления поиска, таким образом, соответствует
квадратичной аппроксимации целевой функции в окрестности точки
)(k
х
. Одним из наиболее известных методов, использующих вторые
производные целевой функции, является метод Ньютона.
(
)
[
]
(
)
( )
[ ]
( )
)(
1
)(2
)(
1
)(2
)()()1(
kk
kk
kkk
xfxf
xfxf
хх
∇∇
∇∇
λ−=
−
−
+
. (13.6)
Алгоритм определения шага
)(k
λ
и критерии окончания поиска в
методе Ньютона те же, что и в методе наискорейшего спуска.
13.6.3. Метод сопряжённых градиентов
Рассмотренный выше метод наискорейшего спуска эффективен
при поиске на значимых расстояниях от точки минимума х
*
и плохо
«работает» в окрестности этой точки. В то же время метод Ньютона не
отличается высокой надёжностью при поиске х
*
из удалённой точки,
однако оказывается весьма эффективным в тех случаях, когда
)(k
х
находится вблизи точки экстремума.
Положительные свойства методов Коши и Ньютона сочетают в
себе методы сопряжённых градиентов, которые, с одной стороны, от-
личаются высокой надёжностью при поиске х
*
из удалённой точки
)(k
х
и, с другой стороны, быстро сходятся в окрестности точки мини-

Страницы