ВУЗ:
Составители:
14
)()(
)(
afbf
afy
ab
ax
−
−
=
−
−
.
Отсюда, полагая x = c и y = 0, получим
(
)
( )
afbf
abaf
aс
−
−
−=
)(
)(
(2.3)
Аналогичную формулу можно записать, если прикрепить хорду к точке b:
)()(
))((
afbf
abbf
bс
−
−
−=
. (2.4)
Значение c, принимаемое за первое приближение к исходному корню,
обозначим через x
1
, т.е. x
1
= c. Эта точка разделит отрезок
[
]
ba,
на два ин-
тервала
[
]
1
, хa
и
[
]
bx ,
1
, в одном из которых находится искомый корень.
Новый отрезок, отделяющий корень, можно определить, пользу-
ясь следующими правилами:
1) точка x
1
находится со стороны вогнутости кривой
(
)
xfy =
;
2) приближённое значение x
1
лежит по ту сторону от истинного
корня x
∗
, на которой функция
(
)
xf
имеет знак, противоположный знаку
её второй производной
)(xf
′
′
, а знак
)(xf
′
совпадает со знаком
)(xf
′
′
;
3) неподвижным остаётся тот конец интервала, а, следовательно,
и хорды, для которого знак функции совпадает со знаком её второй
производной
)(xf
′
′
, а знак
(
)
xf
– нет.
В общем случае возможны следующие варианты поведения
функции
(
)
xf
(рис. 2.5).
Повторяя многократно описанную процедуру построения хорды,
получим последовательность значений x
2
, x
3
, … x
k
, которая будет
стремиться к истинному корню x
∗
. При этом для вычисления значений
x
k
можно пользоваться следующими итерационными формулами:
(
)
(
)
( ) ( )
k
kk
kk
xfbf
xbxf
xx
−
−
−=
+1
, если
0)()( >
′
′
′
xfxf
или
0)()( >
′
′
xfbf
;
(
)
(
)
( ) ( )
afxf
axxf
xx
k
kk
kk
−
−
−=
+1
, если
0)()( <
′
′
′
xfxf
или
0)()( >
′
′
xfaf
.
Процедура вычисления корня уравнения
(
)
0=xf
прекращается,
когда оценка полученного приближения x
k
удовлетворяет заданной точ-
ности. Для упрощения вычислений обычно задают некоторое, достаточ-
но малое число ε > 0 и прекращают вычисления, когда разность между
двумя последующими приближениями становится меньше δ, т.е.
11
1
1
mM
m
xx
kk
−
ε
=δ≤−
+
;
[ ]
(
)
[ ]
(
)
)max;min(
,
1
,
1
xfMxfm
bax
bax
′
=
′
=
∈
∈
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
