Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

16
Число x
k+1
принимают за приближённое значение корня x
∗
.
В том случае, если вторая производная
)(xf
′
′
на отрезке
[
]
ba,
непостоянна, для определения приближённого значения корня можно
использовать формулы (2.3) или (2.4), а последующее отделение корня
производить, сравнивая знак
)(сf
со знаками
)(аf
или
)(bf
. Блок-
схема такого варианта метода хорд будет схожа с блок-схемой метода
половинного деления, а критерием остановки поиска будет являться
близость к нулю значения
)(сf
(рис. 2.6).
2.3. МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (НЬЮТОНА)
Пусть корень x
∗
уравнения
(
)
0=xf
отделён на отрезке
[
]
ba,
,
причём
)(xf
′
и
)(xf
′
′
непрерывны и сохраняют определённые знаки
на всём интервале
[
]
ba,
. В основе метода Ньютона лежит разложение
функции
(
)
xf
в ряд Тейлора:
( ) ( )
...,
2
)(
2
)(
+
′′
+
′
+=+ xf
h
fhxfhxf
x
где h − достаточно малая величина.
Отбросив члены, содержащие h во второй и более высоких степе-
нях, и, предполагая, что переход от x к
hxx +=
ˆ
приближает значение
функции к нулю, так как
0)( =+ hxf
, получим
(
)
)(
ˆ
xf
xf
xx
′
−=
.
Значение
x
ˆ
соответствует точке, в которой касательная к кривой
в точке x пересекает ось OX (рис. 2.7). Таким образом, геометрический
метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой
)(xfy =
касательной, проведённой в некоторой точке кривой. Действительно
уравнение касательной в точке
))
~
(,
~
( xfx
имеет вид
)
~
)(
~
()
~
( xxxfxfy −
′
=−
.
И если положить y = 0, x =
x
ˆ
, то
( )
xf
xf
xx
~
)
~
(
~
ˆ
′
−=
.
Возвращаясь к поставленной задаче, построим касательную к
функции
)(xfy
=
в точке, ограничивающей отрезок локализации кор-
ня x
∗
, например в точке
(
)
)(, bfbB
. Тогда найденное значение
)(
)(
bf
bf
bc
′
−=
будет первым приближением к корню x
∗
. Обозначим его
через x
1
, т.е. x
1
= c. Очевидно, что точка x
1
будет находиться со сторо-
ны выпуклости кривой
)(xfy
=
. Проведём в точке
(
)
)(,
11
xfx
новую
касательную к кривой
)(xfy
=
, получив таким образом следующее
приближение x
2
к истинному корню x
∗
(рис. 2.8). Этот процесс про-

Страницы