Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

18
Теорема 2: Если
0)()( <bfaf
, причём
)(xf
′
и
)(xf
′
′
отличны от
нуля и сохраняют определённые знаки при
bxa ≤≤
, то исходя из на-
чального приближения
[
]
bax ,
0
∈
, удовлетворяющего неравенству
0)()(
00
>
′
′
xfxf
, можно вычислить методом Ньютона
(
)
( )
,
1
k
k
kk
xf
xf
xx
′
−=
+
k = 0, 1, 2, …,
единственный корень x
∗
уравнения y = f(x) с любой степенью точности.
Таким образом, в качестве исходной точки x
0
выбирается тот конец ин-
тервала
[
]
ba,
, которому отвечает ордината того же знака, что и знак
)(xf
′
′
.
2.4. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА
Если производная
)(xf
′
мало изменяется на отрезке
[
]
ba,
, то в
формуле метода Ньютона можно принять:
)()(
01
xfxf
k
′
≈
′
+
.
Тогда для получения последовательных приближений истинного
корня x
0
уравнения
(
)
0=xf
можно использовать формулу:
(
)
( )
,
0
1
xf
xf
xx
k
kk
′
−=
+
k = 0, 1, 2, ….
Геометрически это означает, что мы заменяем касательные в точ-
ках
(
)
(
)
kk
xfx ,
прямыми, параллельными касательной в точке
(
)
(
)
00
, xfx
(рис. 2.9).
Y
X
A
B
)(af
*
x
)()(
0
bfxf =
1
x
2
x
3
x
0
xb =
a
)(xfy =
Рис. 2.9. Иллюстрация итерационного процесса нахождения корня
уравнения модифицированным методом Ньютона
2.5. МЕТОД СЕКУЩИХ
Один из недостатков метода Ньютона состоит в том, что, пользу-
ясь им, приходится дифференцировать функцию
(
)
xf
. Если нахожде-
ние производной затруднено, то можно воспользоваться некоторым
приближением, которое и составляет основу метода секущих. Для это-
го производную
(
)
xf
′
, используемую в методе Ньютона, заменяют
разностью последовательных значений функции, отнесённой к разно-
сти значений аргумента

Страницы