Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

20
(
)
(
)
( )
( )
k
k
k
k
k
kk
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=
+1
,
(
)
( )
k
k
kk
xf
xf
xx
′
−=
+1
;
2) если
0)()( <
′
′
′
xfxf
или
)()( xfaf
′
′
> 0, то
(
)
( )
k
k
kk
xf
xf
xx
′
−=
+1
,
(
)
(
)
( )
( )
k
k
k
k
k
k
k
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=
+1
.
Легко видеть, что истинное значение корня x
∗
лежит между
1+k
x и
1+k
x , т.е.
1
1
+
∗
+
<<
k
k
xxx
и
1
1
1
0
+
+
+
∗
−<−<
k
k
k
xxxx
.
Если допустимая абсолютная погрешность приближённого корня
1+k
x
задана заранее и равна ε, то процесс сближения прекращается в
тот момент, когда будет обнаружено, что
1+k
x
–
1+k
x
< ε. По оконча-
нии процесса за значение корня x
∗
лучше всего взять среднее арифме-
тическое полученных последних значений:
(
)
1
1
2
1
+
+
∗
+≈
k
k
xxx
.
2.7. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Рассмотрим уравнение
)(xgx
=
. Это уравнение может быть по-
лучено из уравнения
(
)
0=xf
путём прибавления к обоим частям x и
заменой
(
)
(
)
xfxxg +=
либо каким-то другим способом. Пусть
[
]
ba,
–
отрезок, определяющий корень x
∗
уравнения
(
)
0=xf
, а следователь-
но, и равносильного ему уравнения
(
)
xgx =
.
Выберем произвольную точку x
0
, которую примем за грубое при-
ближение корня и подставим её в правую часть уравнения
)(xgx
=
.
Тогда получим некоторое число
(
)
01
xgx =
.
По найденному значению x
1
определим вторую точку x
2
и т.д. По-
вторяя этот процесс, будет иметь последовательность чисел
(
)
...,2,1,0,
1
==
+
kxgx
kk
.
Если полученная таким образом последовательность x
k
сходящая-
ся, т.е. существует предел
k
xx
k ∞→
=
∗
lim
, то она сходится к корню x
∗
, и за
конечное число итераций можно получить приближённое значение
корня x
∗
с любой степенью точности.

Страницы