ВУЗ:
Составители:
21
x
y
=
)(xgy =
X
Y
2
x
1
x
0
3
x
0
x
x
y
=
)(xgy =
X
Y
2
x
1
x
0
3
x
0
x
Рис. 2.11. Иллюстрация итерационного процесса нахождения корня
уравнения методом простой итерации
Геометрически метод итерации может быть пояснён следующим
образом. Построим на плоскости XOY графики функций y = x и
)(xgx
=
. Каждый действительный корень x
∗
уравнения
)(xgx
=
явля-
ется абсциссой точки пересечения M кривой
)(xgx =
с прямой y = x
(рис. 2.11).
Однако процесс итерации сходится не всегда (рис. 2.12).
Достаточным условием сходимости итерационного процесса яв-
ляется следующая теорема:
Теорема 3: Пусть функция g(x) определена и дифференцируема на
отрезке
[
]
ba,
, причём все её значения
(
)
[
]
baxg ,∈
. Тогда если сущест-
вует правильная дробь q (за q можно принять
[ ]
(
)
xgq
bax
′
=
∈ ,
min
) такая,
что
(
)
1<≤
′
qxg
при
bxa
<
<
, то:
1) процесс итерации
(
)
...,2,1,0,
1
==
+
kxgx
kk
сходится незави-
симо от начального значения
[
]
bax
k
,
1
∈
+
;
2) предельное значение
k
xx
k ∞→
=
∗
lim
является единственным кор-
нем уравнения
(
)
xgx =
на отрезке
[
]
ba,
.
x
y
=
)(xgy =
X
Y
2
x
1
x
0
0
x
x
y
=
)(xgy =
X
Y
3
x
1
x
0
0
x
2
x
4
x
Рис. 2.12. Иллюстрация итерационного процесса нахождения корня
уравнения методом простой итерации (расходящийся процесс)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
