Численные методы расчёта, моделирования и проектирования технологических процессов и оборудования. Майстренко А.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

38
где
ααα
ααα
ααα
=α=α
nnnn
n
n
ij
...
............
...
...
21
22221
11211
и
β
β
β
=β
n
...
2
1
матрица коэффициентов
и вектор-столбец свободных членов. Уравнение (3.30) может также
быть записано в матричной форме:
x = αx + β. (3.31)
Преобразование системы (3.1) к виду (3.30) может быть выполне-
но следующим образом. Исходя из предположения о неравенстве нулю
диагональных коэффициентов матрицы A (3.2.1), т.е.
(
)
nia
ii
,1,0 =≠
,
разрешают каждое i-е уравнение системы (3.1) относительно неизвест-
ных x
i
. В результате получают систему вида (3.30), у которой:
nji
ji
ji
a
a
b
ii
ij
ij
ii
i
i
...,,2,1,
,0,
;,
; =
=
≠
α
−
=α=β
.
Систему (3.30) будем решать методом последовательных при-
ближений. Выберем некоторое начальное (нулевое) приближение
)0(
x
.
Далее будем последовательно находить первое приближение к реше-
нию системы
(
)
(
)
β+α=
01
xx , второе β+α=
)1()2(
xx и т.д.
В общем случае любое (k + 1)-е приближение вычисляют по фор-
муле
(
)
(
)
β+α=
+ kk
xx
1
, (3.32)
или в развёрнутом виде
( )
∑
=
+
==β+α=
n
j
i
k
jij
k
i
knixx
1
)(1
2...1,0,;,1,
. (3.33)
Если последовательность приближений ,
)0(
x
,
)1(
x
… имеет пре-
дел
)(
lim
k
xx
k ∞→
=
, то этот предел является решением системы (3.30).
Однако итерационный процесс решения СЛАУ сходится не все-
гда. Условия сходимости итерационного процесса определяет сле-
дующая теорема.
Теорема: Процесс итерации (3.32) для приведённой линейной
системы (3.31) сходится к единственному решению из любого началь-
ного приближения, если какая-нибудь каноническая норма матрицы α
меньше единицы, т.е.
1<α
. (3.34).
Эта теорема определяет достаточные условия сходимости. В ка-
честве нормы матрицы могут быть приняты следующие значения:

Страницы