ВУЗ:
Составители:
40
или
∑
=
−−
−=−
n
i
k
i
k
i
kk
xxxx
1
)1()()1()(
, (3.39)
или
∑
=
−−
−=−
n
i
k
i
k
i
kk
xxxx
1
2
)1()()1()(
.
3.5. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя) представляет собой некоторую
модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключа-
ется в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной x
i
учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвест-
ных x
1
, x
2
, …, x
i – 1
.
Пусть дана приведённая линейная система (3.31). Выберем произ-
вольно начальное приближение
)0(
x
. Тогда, предполагая, что k-е при-
ближение
)(k
i
x
корней известны, (k + 1)-е приближение корней будем
находить по формулам:
....2,1,0,,1,
1
1
)()1()1(
==α+α+β=
∑ ∑
−
= =
++
knixxx
i
j
n
ij
k
jij
k
jiji
k
i
(3.40)
Хотя области сходимости метода итерации и метода Зейделя не
совпадают, а лишь пересекаются, тем не менее условия сходимости
для метода Зейделя определяются теми же выражениями ((3.34), (3.35),
(3.36)), что и для метода простой итерации. Обычно метод Зейделя
даёт лучшую сходимость. Однако бывают случаи, когда процесс Зей-
деля сходится медленнее процесса простой итерации. Более того, бы-
вают случаи, когда процесс итерации сходится, а метод Зейделя расхо-
дится.
При оценке погрешности вычисления методом Зейделя необхо-
димо выполнение неравенства (3.37). Это произойдёт в том случае,
когда выполнится следующее неравенство:
ε
µ
µ
−
≤−
−
1
)1()( kk
xx
, (3.41)
где
∑
∑
−
=
=
α−
α
=µ
1
1
1
max
i
j
ij
n
ij
ij
i
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
