ВУЗ:
Составители:
42
Введя в рассмотрение вектор неизвестных (4.2) и вектор функций
(
)
T
n
ϕϕϕ=ϕ ...,,,
21
, запишем систему (4.5) более кратко:
(
)
xx ϕ=
. (4.6)
Тогда для итерационного поиска приближённого решения систе-
мы (4.6) можно воспользоваться формулами:
(
)
...,2,1,0,
)()1(
=ϕ=
+
kxx
kk
. (4.7)
Если процесс итерации (4.7) сходится, то предельное значение
)(
lim
k
xx
k ∞→
=
∗
обязательно является корнем уравнения (4.6).
Определим условия, при которых метод итерации сходится к
единственному решению. Рассмотрим функции
(
)
xy
ii
ϕ=
, ni ,1= , где
x есть вектор-столбец (4.2), которые отображают п-мерное действи-
тельное пространство само в себя, так как область определения и об-
ласть значения функции
(
)
xy
ii
ϕ= полностью совпадают. Запишем эту
систему функций в матричной форме:
(
)
xy ϕ= , (4.8)
где
(
)
T
n
yyyy ...,,,
21
= .
Отображения (4.8) называются сжимающими, если для любых
двух векторов
x
~
и
x
~
~
выполняются неравенства:
( )
(
)
xxqxx
~
~~
~
~~
−≤ϕ−ϕ (4.9)
для
10
<
≤
q
. В качестве норм неравенства (4.9) можно использовать
следующие канонические нормы:
i
i
xx max
= , или
∑
=
i
i
xx
, или
∑
=
i
i
xx
2
. (4.10)
Тогда справедливой является следующая теорема.
Теорема: Пусть отображение (4.8) является сжимающим в не-
которой замкнутой области, т.е. выполняются условия (4.9). Тогда,
если для итерационного процесса (4.7) все последовательные прибли-
жения
)(k
x
(k = 0, 1, 2, …) принадлежат этой области, то
1) независимо от выбора начального приближения
)0(
x
процесс
(4.7) сходится, т.е. существует
)(
lim
k
k
xx
∞→
∗
=
; (4.11)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
