ВУЗ:
Составители:
44
где q – некоторая постоянная. Тогда, если последовательные прибли-
жения (4.7) не выходят из этой замкнутой области, то процесс ите-
рации (4.7) сходится и предельный вектор (4.11) является единствен-
ным решением системы (4.6) в рассматриваемой области.
Следствие из этой теоремы позволяет записать условие (4.15) в
более простом виде.
Следствие 1: Процесс итерации (4.7) сходится к единственному
решению, если выполняются неравенства:
( )
njq
x
x
j
n
i
j
i
,1,1
1
=<≤
∂
ϕ∂
∑
=
, (4.16)
или
( )
niq
x
x
j
n
j
j
i
,1,1
1
=<≤
∂
ϕ∂
∑
=
для всех значений x, принадлежащих некоторой замкнутой области.
Таким образом, неравенства (4.16) определяют условия сходимо-
сти метода простой итерации для системы нелинейных уравнений.
4.2. МЕТОД НЬЮТОНА
Рассмотрим нелинейную систему уравнений (4.4). Точный корень
∗
x
этого уравнения может быть представлен в виде суммы некоторого
k-го приближения
)(k
x
и поправки
)(k
ε
(погрешности корня), т.е.
)()( kk
xx ε+=
∗
, (4.17)
где
(
)
T
k
n
kk
k
xxxx
)(
)(
2
)(
1
)(
...,,,=
и
(
)
T
k
n
kk
k )(
)(
2
)(
1
)(
...,,, εεε=ε .
Тогда, подставив выражение (4.17) в уравнение (4.4), будем
иметь:
(
)
0
)()(
=ε+
kk
xf
. (4.18)
Пусть функция
(
)
xf
непрерывно дифференцируема в некоторой
выпуклой области, содержащей x
∗
и
)(k
x
. Разложим левую часть урав-
нения (4.18) по степеням малого вектора
)(k
ε
в ряд Тейлора, ограни-
чившись при этом лишь линейными членами:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
