Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

(Ω, F,
P
)
ξ = (ξ
1
, ..., ξ
`
) : Ω 7→ R
`
{ξ
1
6 x
1
, ..., ξ
`
6 x
`
} ∈ F x = (x
1
, ..., x
`
) ∈ R
`
X R
`
ξ
P
{ξ ∈ X} = 1 ξ ξ
p
ξ
(x) ,
P
{ξ = x}, x ∈ X,
ξ
X R
`
(p(x))
x∈X
`
(p(x))
x∈X
p(x) > 0 ∀x ∈ X
P
x∈X
p(x) = 1
` = 2
p
ij
2 ξ = (ξ
1
, ξ
2
)
0 ≤ p
ij
≤ 1 i, j
P
ij
p
ij
= 1
p
i
=
P
{ξ
1
= x
i
} =
X
j
p
ij
q
j
=
P
{ξ
2
= y
j
} =
X
i
p
ij
ξ
1
ξ
2
ξ
1
, ..., ξ
`
ξ = (ξ
1
, ..., ξ
`
)
F
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
) ,
P
{ξ
1
6x
1
, ..., ξ
`
6x
`
}, x = (x
1
, ..., x
`
) ∈ R
`
.
` = 2
(ξ
1
, ξ
2
) K
x
1
,x
2
= (−∞, x
1
] ×
(−∞, x
2
].
S
v
= (x
0
1
, x
00
1
] × (−∞, x
2
]
P
{(ξ
1
, ξ
2
) ∈ S
v
} = F
ξ
1
,ξ
2
(x
00
1
, x
2
) − F
ξ
1
,ξ
2
(x
0
1
, x
2
);
2.4 Ñëó÷àéíûå âåêòîðû
2.4.1 Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
    Ïóñòü (Ω, F, P)  íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëåíèå 2.4.1. Ôóíêöèÿ ξ = (ξ1 , ..., ξ` ) : Ω 7→ R` íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì âåêòîðîì,
åñëè {ξ1 6 x1 , ..., ξ` 6 x` } ∈ F äëÿ ëþáîãî x = (x1 , ..., x` ) ∈ R` .
Îïðåäåëåíèå 2.4.2. Åñëè X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R` , ξ  ñëó÷àíûé
âåêòîð è P{ξ ∈ X} = 1 (ò.å. ìíîæåñòâî çà÷åíèé ξ íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî), òî ξ íàçûâàåòñÿ
äèñêðåòíûì ñëó÷àéíûì âåêòîðîì, à íàáîð âåðîÿòíîñòåé

                                      pξ (x) , P{ξ = x},                 x ∈ X,

íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì ξ .

Òåîðåìà 2.4.1. Ïóñòü X  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî R` . Íàáîð âåùåñòâåííûõ
÷èñåë (p(x))x∈X ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ` -ìåðíîãî
âåêòîðà òîãäà è òîëüêî
                     P òîãäà, êîãäà (p(x))x∈X óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1)
p(x) > 0 ∀x ∈ X ; 2)   p(x) = 1 .
                         x∈X


Çàìå÷àíèå 1. Ïðè ` = 2 äàííîå óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî â íåñêîëü-
êî èíîì âèäå, à èìåííî, êîíå÷íûé èëè ñ÷åòíûé íàáîð âåùåñòâåííûõ ÷èñåë pij ÿâëÿåòñÿ
äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî   P 2 -ìåðíîãî âåêòîðà ξ = (ξ1 , ξ2 ) òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà 0 ≤ pij ≤ 1 äëÿ âñåõ i, j è  pij = 1 . Êðîìå òîãî, âåðîÿòíîñòè
                                                                    ij

                                              X                                         X
                     pi = P{ξ1 = xi } =             pij   è    qj = P{ξ2 = yj } =             pij
                                                j                                         i


çàäàþò ñîîòâåòñòâåííî äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 â
îòäåëüíîñòè.
   Ðàñïðåäåëåíèå äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà êàê ïðàâèëî çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äâó-
ìåðíîé òàáëèöû.
Îïðåäåëåíèå 2.4.3. Ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ..., ξ`
(ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = (ξ1 , ..., ξ` ) ) íàçûâàåòñÿ

                 Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) , P{ξ1 6 x1 , ..., ξ` 6 x` }, x = (x1 , ..., x` ) ∈ R` .
Çàìå÷àíèå 2. Ïðè ` = 2 ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ãåîìåòðè÷åñêè îçíà÷àåò âåðîÿòíîñòü ïî-
ïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè (ξ1 , ξ2 ) â áåñêîíå÷íûé êâàäðàíò (ðèñ. 13): Kx1 ,x2 = (−∞, x1 ] ×
(−∞, x2 ].
   Òîãäà ìîæíî íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè â âåðòèêàëüíóþ ïîëóïî-
ëîñó (ðèñ. 14, a)) Sv = (x01 , x001 ] × (−∞, x2 ] :
                                                               00                 0
                           P{(ξ1 , ξ2 ) ∈ Sv } = Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) − Fξ1 ,ξ2 (x1 , x2 );



                                                          25

Страницы