Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

F
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
)
lim
y
1
↓x
1
,...,y
`
↓x
`
F
ξ
1
,...,ξ
`
(y
1
, ..., y
`
) = F
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
)
lim
x
j
→−∞
F
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
) = 0 j ∈ {1, ..., `}
lim
x
1
→+∞,...,x
`
→+∞
F
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
) = 1
lim
x
k+1
→+∞,...,x
`
→+∞
F
ξ
1
,...,ξ
k
,ξ
k+1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
k
, x
k+1
, ..., x
`
) = F
ξ
1
,...,ξ
k
(x
1
, ..., x
k
);
a
j
< b
j
j = 1, ..., `
∆
1
(a
1
,b
1
]
...∆
`
(a
`
,b
`
]
F
ξ
1
,...,ξ
`
(·) =
P
{a
1
< ξ
1
6 b
1
, ..., a
`
< ξ
`
6 b
`
} > 0.
F : R
`
7→ R `
F
∆
1
(a
1
,b
1
]
...∆
`
(a
`
,b
`
]
F > 0 a
j
, b
j
∈ R a
j
< b
j
j = 1, ..., `
lim
y
1
↓x
1
,...,y
`
↓x
`
F (y
1
, ..., y
`
) = F (x
1
, ..., x
`
);
lim
x
j
→−∞
F (x
1
, ..., x
`
) = 0 j ∈ {1, ..., `}
lim
x
1
→+∞,...,x
`
→+∞
F (x
1
, ..., x
`
) = 1.
ξ `
f
ξ
(·) : R
`
7→ R
+
F
ξ
(x
1
, ..., x
`
) =
x
`
Z
−∞
µ
...
µ
x
1
Z
−∞
f
ξ
(u
1
, ..., u
`
)du
1
...
du
`
x = (x
1
, ..., x
`
) ∈ R
`
f
ξ
(x)
ξ
                                                               Ðèñ. 15


Òåîðåìà 2.4.2. Ñîâìåñòíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáëàäàåò ñëåäó-
þùèìè ñâîéñòâàìè:
   1) Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) âîçðàñòàåò ïî êàæäîìó àðãóìåíòó;
   2)       lim         Fξ1 ,...,ξ` (y1 , ..., y` ) = Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) (íåïðåðûâíà ñïðàâà ïî êàæäîìó àð-
        y1 ↓x1 ,...,y` ↓x`
ãóìåíòó);
   3) lim Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = 0 äëÿ ëþáîãî j ∈ {1, ..., `} ;
        xj →−∞
   4)             lim          Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = 1 ;
        x1 →+∞,...,x` →+∞
   5)              lim           Fξ1 ,...,ξk ,ξk+1 ,...,ξ` (x1 , ..., xk , xk+1 , ..., x` ) = Fξ1 ,...,ξk (x1 , ..., xk );
        xk+1 →+∞,...,x` →+∞
   6) äëÿ ëþáûõ aj < bj , j = 1, ..., ` ,

                      ∆1(a1 ,b1 ] ...∆`(a` ,b` ] Fξ1 ,...,ξ` (·) = P{a1 < ξ1 6 b1 , ..., a` < ξ` 6 b` } > 0.



Òåîðåìà 2.4.3. Ôóíêöèÿ F : R` 7→ R ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ `
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
   1) ∆1(a1 ,b1 ] ...∆`(a` ,b` ] F > 0 äëÿ ëþáûõ aj , bj ∈ R , aj < bj , j = 1, ..., ` ;
   2)     lim          F (y1 , ..., y` ) = F (x1 , ..., x` );
        y1 ↓x1 ,...,y` ↓x`
   3)     lim F (x1 , ..., x` ) = 0 äëÿ ëþáîãî j ∈ {1, ..., `} ;
        xj →−∞
   4)             lim          F (x1 , ..., x` ) = 1.
        x1 →+∞,...,x` →+∞

Îïðåäåëåíèå 2.4.4. Ïóñòü ξ  ` -ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ
ôóíêöèÿ fξ (·) : R` 7→ R+ , ÷òî
                                                   Zx` µ µ Zx1                      ¶ ¶
                              Fξ (x1 , ..., x` ) =      ...    fξ (u1 , ..., u` )du1 ... du`
                                                     −∞            −∞

äëÿ ëþáîãî x = (x1 , ..., x` ) ∈ R` , òî ôóíêöèÿ fξ (x) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ
âåêòîðà ξ .


                                                                   27

Страницы