Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

ξ
j
X
j
ξ
j
j = 1, ..., ` ξ
1
, ..., ξ
`
P
{ξ
1
= x
1
, ..., ξ
`
= x
`
} =
P
{ξ
1
= x
1
} · ... ·
P
{ξ
`
= x
`
}
x
1
∈ X
1
, ..., x
`
∈ X
`
ξ
1
, ..., ξ
`
f
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
)
f
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
) = f
ξ
1
(x
1
) · ... · f
ξ
`
(x
`
).
ξ
1
ξ
2
M
(ξ
1
ξ
2
) =
M
ξ
1
M
ξ
2
.
ξ
1
ξ
2
cov(ξ
1
, ξ
2
) = 0
ξ
1
ξ
2
D
(ξ
1
+ ξ
2
) =
D
ξ
1
+
D
ξ
2
.
ξ
1
ξ
2
ξ
2
ξ
1
φ(ξ
1
) = aξ
1
+ b
M
[ξ
2
− φ(ξ
1
)]
2
a =
cov(ξ
1
, ξ
2
)
D
ξ
1
= ρ(ξ
1
, ξ
2
)
s
D
ξ
2
D
ξ
1
,
b =
M
ξ
2
−
cov(ξ
1
, ξ
2
)
D
ξ
1
M
ξ
1
.
a
ξ
2
ξ
1
M
[ξ
2
− φ(ξ
1
)]
2
=
D
ξ
2
(1 − ρ
2
(ξ
1
, ξ
2
))
y =
M
ξ
2
+ a(x −
M
ξ
1
)
ξ
2
ξ
1
(
M
ξ
1
,
M
ξ
2
)
ξ
1
ξ
2
ξ
1
ξ
2
Òåîðåìà 2.4.8. Ïóñòü ξj  äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, Xj  êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå
ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ξj , j = 1, ..., ` . Äëÿ òîãî ÷òîáû ξ1 , ..., ξ` áûëè íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî
è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

                      P{ξ1 = x1 , ..., ξ` = x` } = P{ξ1 = x1 } · ... · P{ξ` = x` }

äëÿ ëþáûõ x1 ∈ X1 , ..., x` ∈ X` .


Òåîðåìà 2.4.9. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ..., ξ` èìåþò ñîâìåñòíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðå-
äåëåíèÿ fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) , òî îíè íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

                              fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = fξ1 (x1 ) · ... · fξ` (x` ).


Ñëåäñòâèå 2.4.1. Åñëè ξ1 è ξ2  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî

                                          M(ξ1 ξ2 ) = M ξ1 M ξ2 .


Ñëåäñòâèå 2.4.2. Åñëè ξ1 è ξ2  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî cov(ξ1 , ξ2 ) = 0 .


Ñëåäñòâèå 2.4.3. Åñëè ξ1 è ξ2  íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî

                                       D(ξ1 + ξ2 ) = D ξ1 + D ξ2 .

   Ïóñòü ξ1 è ξ2  çàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
Îïðåäåëåíèå 2.4.7. Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ëèíåéíîé ðåãðåññèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ2 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ1 íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ φ(ξ1 ) = aξ1 + b òàêàÿ, ÷òî
âåëè÷èíà M[ξ2 − φ(ξ1 )]2 ìèíèìàëüíà.
Çàìå÷àíèå 3. Ïîñëåäíåå óñëîâèå âûïîëíåíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
                                                                s
                                     cov(ξ1 , ξ2 )                D ξ2
                                  a=               = ρ(ξ1 , ξ2 )       ,
                                        D ξ1                      D ξ1

                                         cov(ξ1 , ξ2 )
                                      b = M ξ2 −       M ξ1 .
                                            D ξ1
   Êîýôôèöèåíò a íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ëèíåéíîé ðåãðåññèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ2 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ1 , âåëè÷èíà M[ξ2 − φ(ξ1 )]2 = D ξ2 (1 − ρ2 (ξ1 , ξ2 )) è íàçûâàåòñÿ
îñòàòî÷íîé äèñïåðñèåé, à ïðÿìàÿ âèäà y = M ξ2 + a(x − M ξ1 ) íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñðåäíå-
êâàäðàòè÷åñêîé ëèíåéíîé ðåãðåññèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ1 .
Ýòà ïðÿìàÿ âñåãäà ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (M ξ1 , M ξ2 )  öåíòð ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 è ξ2 .
   Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ ðåãðåññèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû ξ1 íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ2 .



                                                         29

Страницы