Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

ξ η
φ
ξ+η
(t) = φ
ξ
(t)φ
η
(t), ψ
ξ+η
(z) = ψ
ξ
(z)ψ
η
(z).
ξ
1
ξ
2
F
ξ
1
(x) F
ξ
2
(x)
φ
ξ
(t)
ξ f
ξ
(x)
f
ξ
(x) =
1
2
π
+∞
Z
−∞
e
−itx
φ
ξ
(t) dt
(Ω, F,
P
(·)) ξ
n
n = 1, 2, . . . ξ
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ 1
P
(ω ∈ Ω : lim
n→∞
ξ
n
(ω) = ξ(ω)) = 1.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ ε > 0
lim
n→∞
P
(|ξ
n
− ξ| > ε) = 0.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
lim
n→∞
M
|ξ
n
− ξ|
2
= 0.
F
n
(x) =
P
{ξ
n
≤ x} n = 1, 2, . . .
F (x) =
P
{ξ ≤ n} x F (x)
lim
n→∞
F
n
(x) = F (x).
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ ξ, ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ε > 0
lim
n→∞
P
(|
1
n
n
X
k=1
(ξ
k
−
M
ξ
k
)| > ε) = 0.
   3. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû, òî

                       φξ+η (t) = φξ (t)φη (t),      ψξ+η (z) = ψξ (z)ψη (z).
   4. Åñëè ïðîèçâîäÿùèå (èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ξ1 è ξ2 ñîâïàäàþò, òî ñîâïàäàþò è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèé Fξ1 (x) è Fξ2 (x) .
   5. Åñëè ôóíêöèÿ φξ (t) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà, òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ξ èìååò îãðàíè÷åííóþ íåïðåðûâíóþ ïëîòíîñòü fξ (x) è
                                  Z+∞
                              1
                    fξ (x) =         e−itx φξ (t) dt (ôîðìóëà îáðàùåíèÿ).
                             2π
                                  −∞


2.5.2 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
   Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, P(·)) çàäàíû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξn ,
n = 1, 2, . . . è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ .
Îïðåäåëåíèå 2.5.3. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíå ξ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (èëè ïî÷òè íàâåðíîå), åñëè

                             P(ω ∈ Ω : lim ξn (ω) = ξ(ω)) = 1.
                                              n→∞
Îïðåäåëåíèå 2.5.4. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíå ξ ïî âåðîÿòíîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0

                                       lim P(|ξn − ξ| > ε) = 0.
                                       n→∞
Îïðåäåëåíèå 2.5.5. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíå ξ â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì, åñëè

                                        lim M |ξn − ξ|2 = 0.
                                        n→∞
Îïðåäåëåíèå 2.5.6. Fn (x) = P{ξn ≤ x} , n = 1, 2, . . . ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðå-
äåëåíèÿ F (x) = P{ξ ≤ n} , åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x , ãäå F (x) íåïðåðûâíà, âûïîëíåíî

                                         lim Fn (x) = F (x).
                                         n→∞

Ïðè ýòîì òàêæå ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå
ξ ïî ðàñïðåäåëåíèþ (ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ, ξ1 , ξ2 , . . . ìîãóò áûòü çàäàíû íà ðàçëè÷íûõ
âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ).

2.5.3 Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà
Îïðåäåëåíèå 2.5.7. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ1 , ξ2 , . . . óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó
áîëüøèõ ÷èñåë, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0
                                             n
                                     1X
                             lim P(|       (ξk − M ξk )| > ε) = 0.
                            n→∞      n k=1

Åñëè âìåñòî ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå, òî ãîâî-
ðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óäîâëåòâîðÿåò óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë.


                                                    31

Страницы