Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

ξ
1
, ξ
2
, . . .
M
ξ
k
D
ξ
k
< C k
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
M
ξ
k
P
∞
k=1
k
−2
D
ξ
k
< ∞
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
M
ξ
k
= 0
D
ξ
k
= 1
k ξ
1
, ξ
2
, . . .
N(0, 1)
lim
n→∞
P
{a <
1
√
n
n
X
k=1
ξ
k
< b} =
1
√
2π
b
Z
a
e
−
x
2
2
dx.
n p n p
η
n
n
ζ
n
=
η
n
−np
√
np(1−p)
N(0, 1)
lim
n→∞
P
{a < ζ
n
< b} =
1
√
2π
b
Z
a
e
−
x
2
2
dx.
Òåîðåìà 2.5.1. (Òåîðåìà ×åáûøåâà.) Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . .  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè M ξk è D ξk < C äëÿ âñåõ k . Òîãäà äëÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . âûïîëíåí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.


Òåîðåìà 2.5.2. (Òåîðåìà Êîëìîãîðîâà.) Ïóñòü ξ1 , ξP
                                                  2 , . . .  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñè-
                                                        ∞
ìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè M ξk è            k=1 k
                                                              −2
                                                                 D ξk < ∞ . Òîãäà äëÿ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . âûïîëíåí óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.


Òåîðåìà 2.5.3. (Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà.) Ïóñòü ξ1 , ξ2 , . . .  ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ M ξk = 0 è D ξk = 1
äëÿ âñåõ k . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . èìååò àñèìïòîòè÷åñêè
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N(0, 1) èëè

                                        n                    Zb
                                   1 X               1                 x2
                        lim P{a < √       ξk < b} = √             e− 2 dx.
                       n→∞          n k=1             2π
                                                             a



Òåîðåìà 2.5.4. (Èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà.) Ðàññìîòðèì ñõåìó
Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðàìè n è p ( n  ÷èñëî èñïûòàíèé â îäíîé ñåðèè, p  âåðîÿòíîñòü
íàñòóïëåíèÿ óñïåõà â îäíîì èñïûòàíèè). Ïóñòü ηn  ÷èñëî óñïåõîâ â ñåðèè èç n èñïûòà-
íèé. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζn = √ηn −np èìååò àñèìïòîòè÷åñêè
                                                                      np(1−p)
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N(0, 1) èëè

                                                       Zb
                                                 1               x2
                            lim P{a < ζn < b} = √           e− 2 dx.
                           n→∞                    2π
                                                       a




                                            32

Страницы