Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

ξ
P{ξ > x} P{ξ ≥ x} P{x
1
≤ ξ < x
2
} P{x
1
< ξ < x
2
} P{x
1
≤ ξ ≤ x
2
}
ξ p
ξ
(x) =
1
π(x
2
+1)
F
ξ
(x)
f
ξ
(x) F
ξ
(x)
ξ ∈ N(1, 1) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
ξ ∈ N(1, 2) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
ξ ∈ N(1, 0.5) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
ξ ∈ N(0, 2) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
F = {∅, Ω, A, A
c
}, A ⊂ Ω
σ
ξ ∈ (1, 0.5) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
ξ ∈ (0.5, 1) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
ξ ∈ (2, 1) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
ξ ∈ (1, 2) p
ξ
(x) Mo ξ
Me ξ
D
(ξ + η) =
D
ξ +
D
η.
µ
2
= ν
2
− ν
2
1
, µ
3
= ν
3
−
3ν
2
ν
1
+ 2ν
3
1
.
µ
2
= ν
2
− ν
2
1
, µ
4
= ν
4
−
4ν
3
ν
1
+ 6ν
2
ν
2
1
− 3ν
4
1
.
C
k
n
=
n!
(n−k)!k!
k = 0, 1, . . . , n n ∈ N ∪{0}
A
k
n
=
n!
(n−k)!
P
n
= n! k = 0, 1, . . . , n n ∈ N ∪{0}
φ
η
(t)
φ
0
η
(t) = −tφ
η
(t) φ
η
(0) = 1.
φ
η
(t)
φ
η
(t)
a) P(
¯
A) = 1 − P(A), b) P(∅) = 0.
σ F
a) lim
n→∞
A
n
∈ F, b) lim
n→∞
A
n
∈ F.
A B
¯
A
¯
B A
¯
B
3 Óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
   1. Âûðàçèòü ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñëåäóþùèå âåðî-
ÿòíîñòè
P{ξ > x} , P{ξ ≥ x} , P{x1 ≤ ξ < x2 } , P{x1 < ξ < x2 } , P{x1 ≤ ξ ≤ x2 } .
    2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ pξ (x) = π(x21+1) . Íàéòè Fξ (x) .
Ïîñòðîèòü ãðàôèêè fξ (x) è Fξ (x) .
    3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (1, 1) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ
è Me ξ .
    4. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (1, 2) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ
è Me ξ .
    5. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (1, 0.5) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ
è Me ξ .
    6. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ N (0, 2) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ
è Me ξ .
    7. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèé êëàññ ìíîæåñòâ F = {∅, Ω, A, Ac }, ãäå A ⊂ Ω , ÿâëÿåòñÿ
σ -àëãåáðîé.
    8. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (1, 0.5) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ
è Me ξ .
    9. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (0.5, 1) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ
è Me ξ .
    10. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (2, 1) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è
Me ξ .
    11. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ∈ (1, 2) . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòè pξ (x) . Íàéòè Mo ξ è
Me ξ .
    12. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí D(ξ + η) = D ξ + D η.
    13. Äîêàçàòü ôîðìóëû ñîîòíîøåíèé ìåæäó ìîìåíòàìè µ2 = ν2 − ν12 ,                µ3 = ν3 −
           3
3ν2 ν1 + 2ν1 .
    14. Äîêàçàòü ôîðìóëû ñîîòíîøåíèé ìåæäó ìîìåíòàìè µ2 = ν2 − ν12 ,                µ4 = ν4 −
               2    4
4ν3 ν1 + 6ν2 ν1 − 3ν1 .
    15. Äîêàçàòü, ÷òî Cnk = (n−k)!k!
                                n!
                                     , ãäå k = 0, 1, . . . , n , n ∈ N ∪ {0} .
    16. Äîêàçàòü, ÷òî An = (n−k)! , Pn = n! ãäå k = 0, 1, . . . , n , n ∈ N ∪ {0} .
                         k     n!

    17. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ φη (t) íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, åñëè
                               φ0η (t) = −tφη (t)    è φη (0) = 1.

   18. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ φη (t) ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
   19. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ φη (t) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà.
   20. Äîêàçàòü èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
                             a) P(Ā) = 1 − P(A),      b) P(∅) = 0.

   21. Äîêàçàòü ñâîéñòâà σ -àëãåáðû F :
                          a) limn→∞ An ∈ F,         b) limn→∞ An ∈ F.

   22. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè A è B  íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ, òî Ā è B̄ , A è B̄  íåçàâèñèìûå
ñîáûòèÿ.

                                               33

Страницы