Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

ξ, η
f
ξ
(x) f
η
(y)
ζ
1
= ξ + η ζ
2
= ξη ζ
3
=
ξ
η
f
ζ
1
(x) =
+∞
Z
−∞
f
ξ
(y)f
η
(x − y) dy =
+∞
Z
−∞
f
ξ
(x − y)f
η
(y) dy;
f
ζ
2
(x) = −
0
Z
−∞
1
y
f
ξ
(y)f
η
µ
x
y
dy +
+∞
Z
0
1
y
f
ξ
(y)f
η
µ
x
y
dy;
f
ζ
3
(x) =
+∞
Z
−∞
|y|f
ξ
(xy)f
η
(y) dy.
ξ
ξ
z
ψ
ξ
(z) =
M
z
ξ
=
∞
X
k=0
z
k
P
{ξ = k}, |z| ≤ 1.
|z| = 1
ξ
ξ
ξ
t
φ
ξ
(t) =
M
e
itξ
, t ∈ (−∞, +∞).
P
{|ξ| < ∞} = 1 ψ
ξ
(z) φ
ξ
(t)
ψ
ξ
(1) = φ
ξ
(0) = 1.
M
|ξ|
k
< ∞ k ≥ 1
φ
(k)
ξ
(0) = i
k
M
ξ
k
.
2.4.3 Ðàñïðåäåëåíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè-
      ÷èí
Ðàññìîòðèì äâå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ, η ñ èçâåñòíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ fξ (x) è fη (y) . Çíàÿ ýòî, ìîæíî íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζ1 = ξ + η , ζ2 = ξη , ζ3 = ηξ :

                             Z+∞                      Z+∞
                   fζ1 (x) =    fξ (y)fη (x − y) dy =    fξ (x − y)fη (y) dy;
                            −∞                                 −∞

                               Z0                  µ ¶      Z+∞            µ ¶
                                    1               x           1           x
                 fζ2 (x) = −          fξ (y)fη         dy +       fξ (y)fη     dy;
                                    y               y           y           y
                            −∞                                   0

                                           Z+∞
                                 fζ3 (x) =    |y|fξ (xy)fη (y) dy.
                                              −∞


2.5 Ïðåäåëüíûå òåîðåìû. Ïðîèçâîäÿùèå è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå
    ôóíêöèè
2.5.1 Ïðîèçâîäÿùèå è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå 2.5.1. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò òîëüêî öåëûå íåîòðèöà-
òåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ξ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ êîì-
ïëåêñíîãî àðãóìåíòà z
                                                   ∞
                                                   X
                                         ξ
                        ψξ (z) = M z =                   z k P{ξ = k},   |z| ≤ 1.
                                                   k=0

Åñëè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ïîñëåäíåãî ðÿäà îòëè÷íà îò îêðóæíîñòè |z| = 1 , òî ïðîèçâî-
äÿùóþ ôóíêöèþ ìîæíî îïðåäåëèòü è äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , ïðèíèìàþùåé öåëûå
îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.5.2. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò ïðîèçâîëüíûå äåéñòâè-
òåëüíûå çíà÷åíèÿ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ξ íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñ-
íîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî àðãóìåíòà t

                               φξ (t) = M eitξ ,           t ∈ (−∞, +∞).

          Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðîèçâîäÿùèõ è õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.

   1. Åñëè P{|ξ| < ∞} = 1 , òî ψξ (z) è φξ (t) íåïðåðûâíû è

                                         ψξ (1) = φξ (0) = 1.

   2. Åñëè M |ξ|k < ∞ äëÿ öåëîãî k ≥ 1 , òî
                                             (k)
                                         φξ (0) = ik M ξ k .

                                                         30

Страницы