Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

R
R
`
f
ξ
(x)dx = 1
µ
R
R
`
f
ξ
(x)dx =
+∞
R
−∞
µ
...
µ
+∞
R
−∞
f
ξ
(x
1
, ..., x
`
)dx
1
...
dx
`
;
f
ξ
(x
1
, ..., x
`
) =
∂
`
F
ξ
1
,ξ
2
,...,ξ
`
(x
1
,x
2
,...,x
`
)
∂x
1
∂x
2
...∂x
`
(x
1
, ..., x
`
)
f
ξ
f
ξ
1
,...,ξ
k
(x
1
, ..., x
k
) =
+∞
R
−∞
...
+∞
R
−∞
f
ξ
1
,...,ξ
k
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
)dx
k+1
...dx
`
.
f : R
`
7→ R
+
R
R
`
f(x)dx = 1
ξ `
f
ξ
g : R
`
7→ R
M
g(ξ) =
Z
R
`
g(x)f
ξ
(x)dx
ξ `
X g : X 7→ R X X
P
x∈X
|g(x)|
P
{ξ = x} < ∞
M
g(ξ) =
X
x∈X
g(x)
P
{ξ = x}.
cov(ξ, η) =
M
(ξ −
M
ξ)(η −
M
η)
ξ η
%(ξ, η) =
cov(ξ,η)
√
D
ξ
D
η
ξ η
ξ η %(ξ, η) = 0
cov(ξ, η) =
M
(ξη) −
M
ξ
M
η;
D
(ξ + η ) =
D
ξ +
D
η + 2 cov(ξ, η).
ξ
1
, ..., ξ
`
F
ξ
1
,...,ξ
`
(x
1
, ..., x
`
) = F
ξ
1
(x
1
) · ... · F
ξ
`
(x
`
)
(x
1
, ..., x
`
) ∈ R
`
Òåîðåìà 2.4.4. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
                  µ                  µ µ +∞                      ¶ ¶ ¶
   R                   R           R
                                   +∞     R
1)   fξ (x)dx = 1   ãäå fξ (x)dx =    ...   fξ (x1 , ..., x` )dx1 ... dx` ;
   R`                                R`                        −∞        −∞
                           ∂ ` Fξ1 ,ξ2 ,...,ξ` (x1 ,x2 ,...,x` )
2) fξ (x1 , ..., x` ) =             ∂x1 ∂x2 ...∂x`
                                                                 â   êàæäîé òî÷êå (x1 , ..., x` ) íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè
fξ ;
                                   R
                                   +∞         R
                                              +∞
3) fξ1 ,...,ξk (x1 , ..., xk ) =        ...        fξ1 ,...,ξk ,...,ξ` (x1 , ..., x` )dxk+1 ...dx` .
                                   −∞         −∞

Òåîðåìà 2.4.5. Ôóíêöèÿ f : R` 7→ R+ ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ
                                                                    R íåêîòîðîãî
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:                                     f (x)dx = 1 .
                                                                                                         R`

  Äëÿ îïèñàíèÿ ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåð-
íûì ñëó÷àåì, ââîäÿò ðàçëè÷íûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.

Òåîðåìà 2.4.6. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíûé ` -ìåðíûé âåêòîð, èìåþùèé ïëîòíîñòü ðàñïðåäå-
ëåíèÿ fξ , g : R` 7→ R . Òîãäà                                          Z
                                                       M g(ξ) =              g(x)fξ (x)dx
                                                                        R`
â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè îïðåäåëåíà îäíà èç ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà, òî îïðåäåëåíà âòîðàÿ
è îíè ñîâïàäàþò.

Òåîðåìà 2.4.7. Ïóñòü ξ  ñëó÷àéíûé ` -ìåðíûé âåêòîð ñî çíà÷åíèÿìè â êîíå÷íîì èëè
ñ÷åòíîì ìíîæåñòâå
            P      X , g : X 7→ R . Åñëè X  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èëè X  ñ÷åòíîå
ìíîæåñòâî è    |g(x)| P{ξ = x} < ∞ , òî
                    x∈X
                                                                      X
                                                    M g(ξ) =                 g(x) P{ξ = x}.
                                                                      x∈X


2.4.2 Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå
      âåëè÷èíû
Îïðåäåëåíèå 2.4.5. 1) cov(ξ, η) = M(ξ − M ξ)(η − M η) íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ;
2) %(ξ, η) = √cov(ξ,η)
               DξDη
                       íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ è η ;
3) Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η òàêîâû, ÷òî %(ξ, η) = 0 , òî îíè íàçûâàþòñÿ íåêîððå-
ëèðîâàííûìè.
    Äëÿ íåïîñðåäñòâåííûõ âû÷èñëåíèé ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå ôîðìóëû
                                                   cov(ξ, η) = M(ξη) − M ξ M η;
                       D(ξ + η) = D ξ + D η + 2 cov(ξ, η).
Îïðåäåëåíèå 2.4.6. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , ..., ξ` íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
                                          Fξ1 ,...,ξ` (x1 , ..., x` ) = Fξ1 (x1 ) · ... · Fξ` (x` )
äëÿ âñåõ (x1 , ..., x` ) ∈ R` .


                                                                         28

Страницы