Гидродинамика. Мазо А.Б - 107 стр.

     ∂ui ∂ui′                 ⎛ ∂u ∂u′ ⎞    1 ∂p 1 ∂p′
        +     + ( u j + u′j ) ⎜ i + i ⎟ = −       −       + νΔui + νΔui′ + g
     ∂t   ∂t                  ⎜ ∂x ∂x ⎟     ρ ∂x    ρ ∂x
                              ⎝ j    j ⎠        i       i
                                                                               .
     ∂ui ∂ui′
        +     = 0.
     ∂xi ∂xi
                                (11.3)
Применим к (11.3) оператор осреднения. Из-за первого и третьего свойств
осреднения (11.2) все линейные вхождения пульсаций после осреднения
пропадут. Останется
                     ∂ui      ∂u      ∂u′    1 ∂p
                         + u j i + u′j i = −       + νΔui + g ;
                     ∂t       ∂x j    ∂x j   ρ ∂xi
                                                                               (11.4)
                ∂ui      ∂ui′
                    = 0;      = 0.
                ∂xi      ∂xi
Используя последнее уравнение (11.4), можем записать

                         ∂ui′ ∂ui′u′j ∂ ui′u′ j
                              =  u′j =          .
                         ∂x j   ∂x j    ∂x j
Произведение пульсаций называют их корреляцией второго порядка, а
величины    τ ij = − ρ ui′u′ j   называются    турбулентными      напряжениями,

которые образуют тензором напряжений Рейнольдса. Уравнения (11.4),
переписанные в виде
                     ∂ui     ∂u     1 ∂p 1 ∂τ ij
                         + uj i = −      +       + νΔui + g ;
                     ∂t      ∂x j   ρ ∂xi ρ ∂x j
                                                           (11.5)
                                    ∂ui
               τ ij = − ρ ui′u′ j ;     = 0.
                                    ∂xi
– уравнениями Рейнольдса (черта над средними опущена). Сравнивая
(11.5) с исходной системой уравнений Навье-Стокса, легко заметить, что в
осредненных       уравнениях           появились   дополнительные      градиенты
напряжений. Очевидно, модель (11.5) теперь не замкнута, и требуется
дополнительно 6 уравнений для компонент симметричного тензора
турбулентных напряжений. Простейший способ замыкания уравнений
Рейнольдса состоит в том, чтобы выразить τ ij через характеристики

осредненного течения, например


                                                                               - 107 -